logo

TechCodeview

Импликација у дискретној математици

Изјава о импликацији може бити представљена у облику 'ако....онда'. Симбол ⇒ се користи да покаже импликацију. Претпоставимо да постоје два исказа, П и К. У овом случају, изјава 'ако је П онда К' се такође може написати као П ⇒ К или П → К, а читаће се као 'П имплицира К'. У овој импликацији, исказ П је хипотеза, која је такође позната као премиса и антецедент, а изјава К је закључак, који је такође познат као консеквент.

Импликација такође игра важну улогу у логичком аргументу. Ако се зна да је импликација изјава тачна, онда кад год се испуни премиса, закључак такође мора бити истинит. Из тог разлога, импликација је позната и као условна изјава.

Неки примери импликација су описани на следећи начин:

динамичко програмирање
  • 'Ако је време у ГОА-и сунчано, онда ћемо ићи на плажу'.
  • „Ако клуб има систем попуста, онда ћемо ићи у тај клуб.
  • 'Ако је сунчано док идемо на плажу, онда ћемо бити препланули'.

Логичка импликација се може изразити на различите начине, који су описани на следећи начин:

  1. Ако је п онда к
  2. Ако је п, к
  3. к када п
  4. П само ако је П
  5. к осим ако ~стр
  6. к кад год стр
  7. п је довољан услов за к
  8. к прати стр
  9. п имплицира к
  10. Неопходан услов за п је к
  11. к ако је стр
  12. к је неопходно за п
  13. п је неопходан услов за к

Сада ћемо описати примере свих горе описаних импликација уз помоћ премисе П и закључка К. За ово ћемо претпоставити да је П = сунчано је и К = ја ћу ићи на плажу.

П ⇒ П

  1. АКО је сунчано, онда ћу отићи на плажу
  2. АКО је сунчано, идем на плажу
  3. Ићи ћу на плажу КАД буде сунчано
  4. Ићи ћу на плажу САМО АКО је сунчано
  5. Ићи ћу на плажу ОСИМ АКО није сунчано
  6. Ићи ћу на плажу КАД год је сунчано
  7. Сунчано је ДОВОЉАН ЈЕ УСЛОВИ ДА идем на плажу
  8. Ићи ћу на плажу ПРАТИТИ сунчано
  9. Сунчано је ПОДРАЗУМЕВАНО да ћу отићи на плажу
  10. НЕОПХОДАН УСЛОВИ ДА буде сунчано је да идем на плажу
  11. Ићи ћу на плажу АКО је сунчано
  12. Ићи ћу на плажу ЈЕ ПОТРЕБНО ЈЕР је сунчано
  13. Сунчано је ЈЕ НЕОПХОДАН УСЛОВИ ДА идем на плажу

Када постоји условни исказ 'ако је п онда к', онда ће овај исказ П ⇒ К бити нетачан када је премиса п тачна, а закључак к нетачан. У свим осталим случајевима, то значи када је п нетачно или К тачно, изјава П ⇒ К ће бити тачна. Ову изјаву можемо представити уз помоћ табеле истинитости у којој ће нетачно бити представљено са Ф, а тачно са Т. Табела истинитости исказа 'ако је П онда К' је описана на следећи начин:

П П П ⇒ к
Т Т Т
Т Ф Ф
Ф Т Т
Ф Ф Т

Није неопходно да су премисе и закључак међусобно повезани. На основу формулације П и К, тумачење табеле истинитости зависи.

На пример:

  • Ако је Џек направљен од пластике, онда је океан зелен.
  • Изјава: Јацк је направљен од пластике
  • Изјава: Океан је зелен

Горње две изјаве немају никаквог смисла јер је Џек човек и никада не може бити направљен од пластике, а друга изјава Океан је зелен се никада неће догодити јер је океан увек плав и боја Океана се не може променити. Као што видимо да обе изјаве нису међусобно повезане. С друге стране, табела истинитости за исказ П ⇒ К је важећа. Дакле, није питање да ли је табела истине тачна или не, већ је питање маште и интерпретације.

Дакле, у П ⇒ К, није нам потребна никаква врста везе између премисе и консеквента. На основу праве вредности П и К, значење ових само зависи.

Ове изјаве ће такође бити лажне чак и ако узмемо у обзир обе изјаве за наш свет, дакле

 False ⇒ False

Дакле, када погледамо горњу табелу истинитости, видимо да када је П лажно, а К лажно, онда је П ⇒ К тачно.

Дакле, ако је Јацк направљен од пластике, онда ће океан бити зелен.

Међутим, премиса п и закључак к биће повезани и обе изјаве имају смисла.

Двосмисленост

Може постојати нејасноћа у имплицитном оператору. Дакле, када користимо имплицитни оператор (⇒), у овом тренутку треба да користимо заграде.

На пример: У овом примеру имамо двосмислен исказ П ⇒ К ⇒ Р. Сада имамо два двосмислена исказа ((П ⇒ К) ⇒ Р) или (П ⇒ (К ⇒ Р)), и морамо да покажемо да ли ови искази слични или не.

Решење: Ово ћемо доказати уз помоћ табеле истинитости, која је описана на следећи начин:

П П Р (П ⇒ К) (К ⇒ Р) П ⇒ (К ⇒ Р) (П ⇒ К) ⇒ Р
Ф Ф Ф Т Т Т Ф
Ф Ф Т Т Т Т Т
Ф Т Ф Т Ф Т Ф
Ф Т Т Т Т Т Т
Т Ф Ф Ф Т Т Т
Т Ф Т Ф Т Т Т
Т Т Ф Т Ф Ф Ф
Т Т Т Т Т Т Т

У горњој табели истинитости можемо видети да табела истинитости за П ⇒ (К ⇒ Р) и (П ⇒ К) ⇒ Р није слична. Дакле, обоје ће генерисати различите резултате или резултате.

Више о импликацији

Још неки примери импликација су описани на следећи начин:

  • Ако је сунчано, онда ћу ићи у школу.
  • Ако добијем добар посао, онда ћу зарадити новац.
  • Ако добијем добре оцене, онда ће моји родитељи бити срећни.

У свим наведеним примерима смо збуњени јер не знамо када ће се импликација сматрати истинитом, а када лажном. Да бисмо решили овај проблем и разумели концепт импликације, користићемо хипотетички пример. У овом примеру ћемо претпоставити да ће Мери играти бадминтон са својим дечком Џеком, а његов дечко Џек жели да мало мотивише Мери, па је мами изјавом:

 'If you win then I will buy a ring for you'

Овом изјавом Џек мисли да ако брак победи, онда ће очигледно купити прстен. Кроз ову изјаву, Џек се обавезује само када Марри победи. Ни у ком случају није починио ништа када је Марија изгубила. Дакле, на крају меча могу постојати само четири могућности, које су описане на следећи начин:

  • Удати побеђује - купи прстен.
  • Удати се побеђује - не купуј прстен.
  • Марри губи - купи прстен.
  • Марри губи - не купуј прстен.

Међутим, Џек није дао никакву изјаву у вези са правилом (Б). Такође није поменуо правила број (Ц) и (Д) у својој изјави, тако да ако Марри изгуби, онда је потпуно на Џеку да ли ће јој купити прстен или не. У ствари, изјаве (А), (Ц) и (Д) могу се десити као резултат изјаве коју Џек каже Марри, али (Б) неће бити исход. Ако дође до исхода (Б), тек тада ће Џек бити ухваћен у лажи. У сва остала три случаја, тј. (А), (Ц) и (Д), он ће говорити истину.

Сада ћемо користити једноставнију изјаву да бисмо могли симболично да дефинишемо Џекову изјаву овако:

 P: you win Q: I will buy a ring for you

У овој импликацији користимо логички симбол ⇒, који се може читати као „имплицира“. Формираћемо Џекову сложену наредбу уз помоћ стављања ове стрелице од П до К овако:

 P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.

У закључку, приметили смо да ће импликација бити нетачна само када је П тачно, а к нетачно. Према овој изјави, Мери побеђује у игри, али Јацк нажалост не купује прстен. У свим осталим случајевима/исходима, изјава ће бити тачна. Сходно томе, табела истинитости за импликације је описана на следећи начин:

П П П ⇒ К
Т Т Т
Т Ф Ф
Ф Т Т
Ф Ф Т

Листа одговарајућих логичких једначина за импликацију је описана на следећи начин:

 T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T

Примери импликације:

Постоје различити примери импликација, а неки од њих су описани на следећи начин:

Пример 1: Претпоставимо да постоје четири исказа, П, К, Р и С где

П: Џек је у школи

П: Џек предаје

Р: Џек спава

С: Џек је болестан

Сада ћемо описати неке симболичке изјаве које су укључене у ове једноставне изјаве.

  1. П → Р
  2. С → ~П
  3. ~К → (С ∧ Р)
  4. (П ∨ Р) → ~К
  5. (~Р ∧ ~С) → (К ∨ ~П)

Овде морамо показати приказ интерпретације ових симболичких исказа у речима.

Решење:

П → Р Ако је Џек у школи, онда Џек предаје.
С → ~П Ако је Џек болестан, онда није у школи.
~К → (С ∧ Р) Ако Џек не предаје, онда је болестан и спава.
(П ∨ Р) → ~К Ако је Џек у школи или спава, онда не предаје.
(~Р ∧ ~С) → (К ∨ ~П) Ако Џек не спава и није болестан, онда он предаје или не у школи.

Пример 2: У овом примеру имамо импликацију П → К. Овде такође имамо још три сложена исказа која су природно повезана са овом импликацијом која је контра позитивна, инверзна и обратна од импликације. Однос између сва ова четири исказа описан је уз помоћ табеле која је описана на следећи начин:

Импликација П → К
разговарати К → П
Инверзно ~П → ~К
Контрапозитивно ~К → ~П

Сада ћемо размотрити пример импликације, који садржи изјаву „Ако добро учиш, добијаш добре оцене“. Ова изјава је у облику П → К, где је

П: добро учиш

П: Добијате добре оцене

Сада ћемо користити П и К изјаве и приказати четири придружена исказа овако:

импликација: Ако добро учите, добијате добре оцене.

Разговарати: Ако добијеш добре оцене, добро учиш.

Инверзно: Ако не учиш добро, не добијаш добре оцене.

Контрапозитивно: Ако не добијете добре оцене, не учите добро.

Вредности истинитости свих горе наведених исказа сарадника описане су уз помоћ табеле истинитости, која је описана на следећи начин

П П ~П ~К П → К К → П ~П → ~К ~К → ~П
Т Т Ф Ф Т Т Т Т
Т Ф Ф Т Ф Т Т Ф
Ф Т Т Ф Т Ф Ф Т
Ф Ф Т Т Т Т Т Т

У горњој табели можемо видети да импликација (П → К) и њена контрапозитива (~К → ~П) имају исту вредност у својим колонама. То значи да су оба еквивалентна. Дакле, можемо рећи да:

 P → Q = ~Q → ~P

Слично томе, можемо видети да и обрнуто и инверзно имају сличне вредности у својим колонама. Али ово неће правити никакву разлику јер је инверзно контрапозитивно од обрнутог. Слично, оригинална импликација може добити из контрапозитива контрапозитива. (То значи да ако негирамо П и К и затим променимо смер стрелице, а након тога ћемо поново поновити процес, то значи негирати ~П и ~К, и поново променити смер стрелице, у овом случају добићемо тамо где смо почели).