Изјава о импликацији може бити представљена у облику 'ако....онда'. Симбол ⇒ се користи да покаже импликацију. Претпоставимо да постоје два исказа, П и К. У овом случају, изјава 'ако је П онда К' се такође може написати као П ⇒ К или П → К, а читаће се као 'П имплицира К'. У овој импликацији, исказ П је хипотеза, која је такође позната као премиса и антецедент, а изјава К је закључак, који је такође познат као консеквент.
Импликација такође игра важну улогу у логичком аргументу. Ако се зна да је импликација изјава тачна, онда кад год се испуни премиса, закључак такође мора бити истинит. Из тог разлога, импликација је позната и као условна изјава.
Неки примери импликација су описани на следећи начин:
динамичко програмирање
- 'Ако је време у ГОА-и сунчано, онда ћемо ићи на плажу'.
- „Ако клуб има систем попуста, онда ћемо ићи у тај клуб.
- 'Ако је сунчано док идемо на плажу, онда ћемо бити препланули'.
Логичка импликација се може изразити на различите начине, који су описани на следећи начин:
- Ако је п онда к
- Ако је п, к
- к када п
- П само ако је П
- к осим ако ~стр
- к кад год стр
- п је довољан услов за к
- к прати стр
- п имплицира к
- Неопходан услов за п је к
- к ако је стр
- к је неопходно за п
- п је неопходан услов за к
Сада ћемо описати примере свих горе описаних импликација уз помоћ премисе П и закључка К. За ово ћемо претпоставити да је П = сунчано је и К = ја ћу ићи на плажу.
П ⇒ П
- АКО је сунчано, онда ћу отићи на плажу
- АКО је сунчано, идем на плажу
- Ићи ћу на плажу КАД буде сунчано
- Ићи ћу на плажу САМО АКО је сунчано
- Ићи ћу на плажу ОСИМ АКО није сунчано
- Ићи ћу на плажу КАД год је сунчано
- Сунчано је ДОВОЉАН ЈЕ УСЛОВИ ДА идем на плажу
- Ићи ћу на плажу ПРАТИТИ сунчано
- Сунчано је ПОДРАЗУМЕВАНО да ћу отићи на плажу
- НЕОПХОДАН УСЛОВИ ДА буде сунчано је да идем на плажу
- Ићи ћу на плажу АКО је сунчано
- Ићи ћу на плажу ЈЕ ПОТРЕБНО ЈЕР је сунчано
- Сунчано је ЈЕ НЕОПХОДАН УСЛОВИ ДА идем на плажу
Када постоји условни исказ 'ако је п онда к', онда ће овај исказ П ⇒ К бити нетачан када је премиса п тачна, а закључак к нетачан. У свим осталим случајевима, то значи када је п нетачно или К тачно, изјава П ⇒ К ће бити тачна. Ову изјаву можемо представити уз помоћ табеле истинитости у којој ће нетачно бити представљено са Ф, а тачно са Т. Табела истинитости исказа 'ако је П онда К' је описана на следећи начин:
| П | П | П ⇒ к |
| Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф |
| Ф | Т | Т |
| Ф | Ф | Т |
Није неопходно да су премисе и закључак међусобно повезани. На основу формулације П и К, тумачење табеле истинитости зависи.
На пример:
- Ако је Џек направљен од пластике, онда је океан зелен.
- Изјава: Јацк је направљен од пластике
- Изјава: Океан је зелен
Горње две изјаве немају никаквог смисла јер је Џек човек и никада не може бити направљен од пластике, а друга изјава Океан је зелен се никада неће догодити јер је океан увек плав и боја Океана се не може променити. Као што видимо да обе изјаве нису међусобно повезане. С друге стране, табела истинитости за исказ П ⇒ К је важећа. Дакле, није питање да ли је табела истине тачна или не, већ је питање маште и интерпретације.
Дакле, у П ⇒ К, није нам потребна никаква врста везе између премисе и консеквента. На основу праве вредности П и К, значење ових само зависи.
Ове изјаве ће такође бити лажне чак и ако узмемо у обзир обе изјаве за наш свет, дакле
False ⇒ False
Дакле, када погледамо горњу табелу истинитости, видимо да када је П лажно, а К лажно, онда је П ⇒ К тачно.
Дакле, ако је Јацк направљен од пластике, онда ће океан бити зелен.
Међутим, премиса п и закључак к биће повезани и обе изјаве имају смисла.
Двосмисленост
Може постојати нејасноћа у имплицитном оператору. Дакле, када користимо имплицитни оператор (⇒), у овом тренутку треба да користимо заграде.
На пример: У овом примеру имамо двосмислен исказ П ⇒ К ⇒ Р. Сада имамо два двосмислена исказа ((П ⇒ К) ⇒ Р) или (П ⇒ (К ⇒ Р)), и морамо да покажемо да ли ови искази слични или не.
Решење: Ово ћемо доказати уз помоћ табеле истинитости, која је описана на следећи начин:
| П | П | Р | (П ⇒ К) | (К ⇒ Р) | П ⇒ (К ⇒ Р) | (П ⇒ К) ⇒ Р |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ф | Ф | Ф | Т | Т | Т | Ф |
| Ф | Ф | Т | Т | Т | Т | Т |
| Ф | Т | Ф | Т | Ф | Т | Ф |
| Ф | Т | Т | Т | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф | Ф | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Т | Ф | Т | Т | Т |
| Т | Т | Ф | Т | Ф | Ф | Ф |
| Т | Т | Т | Т | Т | Т | Т |
У горњој табели истинитости можемо видети да табела истинитости за П ⇒ (К ⇒ Р) и (П ⇒ К) ⇒ Р није слична. Дакле, обоје ће генерисати различите резултате или резултате.
Више о импликацији
Још неки примери импликација су описани на следећи начин:
- Ако је сунчано, онда ћу ићи у школу.
- Ако добијем добар посао, онда ћу зарадити новац.
- Ако добијем добре оцене, онда ће моји родитељи бити срећни.
У свим наведеним примерима смо збуњени јер не знамо када ће се импликација сматрати истинитом, а када лажном. Да бисмо решили овај проблем и разумели концепт импликације, користићемо хипотетички пример. У овом примеру ћемо претпоставити да ће Мери играти бадминтон са својим дечком Џеком, а његов дечко Џек жели да мало мотивише Мери, па је мами изјавом:
'If you win then I will buy a ring for you'
Овом изјавом Џек мисли да ако брак победи, онда ће очигледно купити прстен. Кроз ову изјаву, Џек се обавезује само када Марри победи. Ни у ком случају није починио ништа када је Марија изгубила. Дакле, на крају меча могу постојати само четири могућности, које су описане на следећи начин:
- Удати побеђује - купи прстен.
- Удати се побеђује - не купуј прстен.
- Марри губи - купи прстен.
- Марри губи - не купуј прстен.
Међутим, Џек није дао никакву изјаву у вези са правилом (Б). Такође није поменуо правила број (Ц) и (Д) у својој изјави, тако да ако Марри изгуби, онда је потпуно на Џеку да ли ће јој купити прстен или не. У ствари, изјаве (А), (Ц) и (Д) могу се десити као резултат изјаве коју Џек каже Марри, али (Б) неће бити исход. Ако дође до исхода (Б), тек тада ће Џек бити ухваћен у лажи. У сва остала три случаја, тј. (А), (Ц) и (Д), он ће говорити истину.
Сада ћемо користити једноставнију изјаву да бисмо могли симболично да дефинишемо Џекову изјаву овако:
P: you win Q: I will buy a ring for you
У овој импликацији користимо логички симбол ⇒, који се може читати као „имплицира“. Формираћемо Џекову сложену наредбу уз помоћ стављања ове стрелице од П до К овако:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
У закључку, приметили смо да ће импликација бити нетачна само када је П тачно, а к нетачно. Према овој изјави, Мери побеђује у игри, али Јацк нажалост не купује прстен. У свим осталим случајевима/исходима, изјава ће бити тачна. Сходно томе, табела истинитости за импликације је описана на следећи начин:
| П | П | П ⇒ К |
|---|---|---|
| Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф |
| Ф | Т | Т |
| Ф | Ф | Т |
Листа одговарајућих логичких једначина за импликацију је описана на следећи начин:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Примери импликације:
Постоје различити примери импликација, а неки од њих су описани на следећи начин:
Пример 1: Претпоставимо да постоје четири исказа, П, К, Р и С где
П: Џек је у школи
П: Џек предаје
Р: Џек спава
С: Џек је болестан
Сада ћемо описати неке симболичке изјаве које су укључене у ове једноставне изјаве.
- П → Р
- С → ~П
- ~К → (С ∧ Р)
- (П ∨ Р) → ~К
- (~Р ∧ ~С) → (К ∨ ~П)
Овде морамо показати приказ интерпретације ових симболичких исказа у речима.
Решење:
| П → Р | Ако је Џек у школи, онда Џек предаје. |
| С → ~П | Ако је Џек болестан, онда није у школи. |
| ~К → (С ∧ Р) | Ако Џек не предаје, онда је болестан и спава. |
| (П ∨ Р) → ~К | Ако је Џек у школи или спава, онда не предаје. |
| (~Р ∧ ~С) → (К ∨ ~П) | Ако Џек не спава и није болестан, онда он предаје или не у школи. |
Пример 2: У овом примеру имамо импликацију П → К. Овде такође имамо још три сложена исказа која су природно повезана са овом импликацијом која је контра позитивна, инверзна и обратна од импликације. Однос између сва ова четири исказа описан је уз помоћ табеле која је описана на следећи начин:
| Импликација | П → К |
| разговарати | К → П |
| Инверзно | ~П → ~К |
| Контрапозитивно | ~К → ~П |
Сада ћемо размотрити пример импликације, који садржи изјаву „Ако добро учиш, добијаш добре оцене“. Ова изјава је у облику П → К, где је
П: добро учиш
П: Добијате добре оцене
Сада ћемо користити П и К изјаве и приказати четири придружена исказа овако:
импликација: Ако добро учите, добијате добре оцене.
Разговарати: Ако добијеш добре оцене, добро учиш.
Инверзно: Ако не учиш добро, не добијаш добре оцене.
Контрапозитивно: Ако не добијете добре оцене, не учите добро.
Вредности истинитости свих горе наведених исказа сарадника описане су уз помоћ табеле истинитости, која је описана на следећи начин
| П | П | ~П | ~К | П → К | К → П | ~П → ~К | ~К → ~П |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Т | Т | Ф | Ф | Т | Т | Т | Т |
| Т | Ф | Ф | Т | Ф | Т | Т | Ф |
| Ф | Т | Т | Ф | Т | Ф | Ф | Т |
| Ф | Ф | Т | Т | Т | Т | Т | Т |
У горњој табели можемо видети да импликација (П → К) и њена контрапозитива (~К → ~П) имају исту вредност у својим колонама. То значи да су оба еквивалентна. Дакле, можемо рећи да:
P → Q = ~Q → ~P
Слично томе, можемо видети да и обрнуто и инверзно имају сличне вредности у својим колонама. Али ово неће правити никакву разлику јер је инверзно контрапозитивно од обрнутог. Слично, оригинална импликација може добити из контрапозитива контрапозитива. (То значи да ако негирамо П и К и затим променимо смер стрелице, а након тога ћемо поново поновити процес, то значи негирати ~П и ~К, и поново променити смер стрелице, у овом случају добићемо тамо где смо почели).