На недавно редизајнираном САТ-у за 2016., Управни одбор колеџа поделио је садржај математичког одељка у четири категорије: Срце алгебре, Решавање проблема и анализа података, Пасош за напредну математику и Додатне теме из математике. Срце алгебре заузима највећи део математичке секције САТ (33% теста) , тако да морате бити добро припремљени за то. У овом посту ћу расправљати о садржају ове категорије и типовима питања, решавати проблеме у пракси и давати савете како да решите ова питања.

Срце алгебре: Преглед

Цонтент Цоверед

Баш као што би име сугерисало, Срце алгебре покрива садржај алгебре, али који садржај алгебре конкретно? Ова питања покривају:

• Линеарне једначине
• Систем једначина
• Апсолутна вредност
• Графичке линеарне једначине
• Линеарне неједначине и системи неједначина

У наставку ћу проћи кроз сваку од ових области садржаја. Објаснићу тачно шта треба да знате у свакој области и провест ћу вас кроз неке проблеме у пракси.

БЕЛЕШКА: Сви практични проблеми у овом чланку потичу од а прави Цоллеге Боард САТ тест за вежбање (Тест за вежбу бр. 1).

Препоручио бих вам да не читате овај чланак све док не урадите практични тест број 1 (да вам га не кварим!). Ако нисте урадили Практични тест бр. 1, обележите овај чланак и вратите се након што га завршите. Ако сте већ полагали практични тест бр. 1, читајте даље!

Распоред питања у срцу алгебре

Као што сам споменуо на почетку чланка, Срце алгебре чини 33% математичког одељка, што значи да 19 питања. Биће осам у одељку 3 (тест из математике без калкулатора) и 11 у одељку 4 (тест из математике калкулатора).

Питања о срцу алгебре се разликују по презентацији. Пошто их има толико, Одбор колеџа је морао да помеша начин на који вам постављају ова питања. Видећете питања са вишеструким избором и мрежом у Срцу алгебре. Можете једноставно бити представљен са једначином(има) и треба да се реши или бисте могли добити сценарио из стварног света као проблем са речима и треба да креирате једначину(е) да бисте пронашли одговор.

САТ математички одељак представља питања по тежини (дефинисано колико времена је просечном ученику потребно да реши задатак и процентом ученика који тачно одговоре на питање). Видећете питања Срца алгебре у целом одељку : једноставни, 'лаки' ће се појавити на почетку вишеструког избора и мреже, док ће се они захтевнији који захтевају да креирате једначину или једначине за решавање појавити на крају.

Даћу примере сваке врсте питања (лаких и тешких) док будемо учили о свакој области садржаја у следећем одељку.

На путу смо освајања алгебре!

Подела области садржаја

Линеарне једначине

Питања из линеарне једначине могу се представити на неколико начина. Лакша питања о линеарној једначини ће од вас тражити да решите линеарну једначину која вам је дата. Тежа питања о линеарној једначини ће од вас тражити да напишете линеарну једначину која представља дату ситуацију.

Нема проблема са вежбањем калкулатора

Ово питање је једно од најједноставнијих, најлакших и најдиректнијих питања Срца алгебре да ћеш видети. Питање само тражи од вас да решите линеарну једначину без постављања у стварну ситуацију која би захтевала да схватите контекст као и једначину.

Одговор Објашњење:

Пошто је $к=3$, може се заменити 3 за к у једначини, што даје ${к-1}/{3}=3$. Множењем обе стране од ${к-1}/{3}=3$ са 3 добија се $к-1=9$, а ако свакој страни додате 1, онда је резултат $к=10$. Д је тачан одговор.

Савет:

Ако сте се мучили са овим питањем, могли бисте да га решите и тако што ћете укључити изборе одговора за к и видети који је успео. Укључивање ће радити, али ће вам одузети више времена од једноставног решавања једначине.

Ако решите једначину да бисте пронашли к, можете двапут проверити свој одговор тако што ћете га укључити. Ако укључите свој избор одговора за к, а обе стране једначине су једнаке, знате да имате тачан одговор!

Следеће питање је мало изазовније пошто од вас тражи да направите линеарну једначину која ће представљати сценарио стварног света који представља.

Одговор Објашњење:

Постоје два начина да се приступи овом проблему.

Приступ 1: Укупан број порука које је Арманд послао једнак је његовој стопи слања СМС-ова (м текстова/сат) помноженој са 5 сати које је провео слајући поруке: м текстова/сат × 5 сати = 5 милиона долара СМС-ова. Слично томе, укупан број порука које је Тајрон послао једнак је његовој стопи слања СМС-ова (п текстова/сат) помноженој са 4 сата које је провео слајући поруке: п текстова/сат × 4 сата = 4п$ текстова. Укупан број порука које су послали Арманд и Тироне једнак је збиру укупног броја порука које су послали Арманд и укупног броја порука које је послао Тироне: 5 милиона долара+4п$. Ц је тачан одговор.

Приступ 2: Изаберите бројеве и прикључите их. На пример, ја ћу изабрати бројеве и рећи да Арманд шаље 3 поруке на сат, а Тироне 10 порука на сат. На основу датих информација, ако Арманд пише 5 сати, Арманд је послао (3 текста на сат) (5 сати) текстова или 15 текстова; ако Тироне шаље поруке 4 сата, Тироне је послао (10 текстова на сат) (4 сата) текстова или 40 текстова. Према томе, укупан број текстова које су послали Арманд и Тироне је $15+40=55$ текстова. Сада убацујем бројеве које сам изабрао у изборе одговора и видим да ли се број текстова поклапа са 55 текстова, тако да за одговор Ц, $5(3) +4(10)=15+40=55$ текстова. Дакле, Ц је тачан одговор. НАПОМЕНА: за ово питање ова стратегија је била спорија, али за компликованија питања ово може бити бржи и лакши приступ.

Савет:

Идите на ове проблеме корак по корак. Одредите укупан број Армандових текстуалних порука, затим одредите укупан број Тајронових текстуалних порука, а затим их комбинујте у један израз. Немојте журити да пређете на коначни одговор. Можда ћете погрешити на путу.

Системи једначина

Питања за систем једначина биће представљена на сличан начин као и питања из линеарне једначине; Међутим, теже су јер сада морате да урадите више корака и/или направите другу једначину.

Тхе лакши систем питања једначина ће од вас тражити да решите једну променљиву када вам се дају две једначине са две променљиве.

Тхе тежи систем питања једначина захтеваће од вас да напишете систем једначина који ће представљати дату ситуацију, а затим решити једну променљиву користећи једначине које сте креирали.

Нема проблема са вежбањем калкулатора

Ово питање је вероватно најједноставнији, најлакши и најједноставнији систем питања једначина да ћеш видети. Поставља једначине за вас и једноставно тражи од вас да решите за к.

Одговор Објашњење:

Одузимање леве и десне стране од $к+и=−9$ од одговарајућих страна $к+2и =−25$ даје $(к+2и)−(к+и)=−25−(−9)$ , што је еквивалентно $и=−16$. Замена $−16$ за $и$ у $к+и=−9$ даје $к+(−16)=−9$, што је еквивалентно $к=−9−(−16) =7$. Тачан одговор је 7.

Савет:

Прикључивање може бити добра опција ако вам се ово питање постави у вишеструком избору (што овде није случај). Међутим, могли сте и да укључите свој одговор да још једном проверите свој рад!

Ево још једног прилично једноставног питања о систему једначина, али јесте мало теже пошто морате да дате одговор и за к и за и (што ствара већи потенцијал за грешку).

Одговор Објашњење:

Додавање к и 19 на обе стране $2и−к=−19$ даје $к=2и+19$. Затим, замена $2и+19$ за к у $3к+4и=−23$ даје $3(2и + 19)+4и=−23$. Ова последња једначина је еквивалентна $10и+57=−23$. Решавање $10и+57=−23$ даје $и=−8$. Коначно, замена −8 за и у $2и−к=−19$ даје $2(−8)−к=−19$, или $к=3$. Дакле, решење $(к, и)$ датог система једначина је $(3, −8)$.

Савет:

Укључивање би такође био брз начин да се ово реши! Када се од вас тражи да решите обе варијабле у систему једначина, увек покушајте да се прикључите!

Следеће је а мало теже. Иако су вам дате једначине, још увек морате да одредите шта вам се поставља питање (за коју променљиву треба да решите) што је мало изазовније јер вам поставља питање користећи сценарио из стварног света. Такође, морате га решити помоћу менталне математике (пошто се налази у одељку без калкулатора).

Одговор Објашњење:

Да бисте одредили цену по фунти говедине када је била једнака цени по фунти пилетине, одредите вредност к (број недеља после 1. јула) када су две цене биле једнаке. Цене су биле једнаке када је $б=ц$; односно када је $2,35+0,25к=1,75+0,40к$. Ова последња једначина је еквивалентна $0,60=0,15к$, тако да је $к={0,6}/{0,15}=4$. Затим да бисте одредили $б$, цену по фунти говедине, замените 4 за $к$ у $б=2,35+0,25к$, што даје $б=2,35+0,25(4)=3,35$ долара по фунти. Дакле, Д је тачан одговор.

Савет:

Одвојите време радећи на сваком кораку. Лако је направити малу грешку и добити погрешан одговор.

Проблем са вежбањем калкулатора

Следеће је једно од најтежих питања у срцу алгебре. На основу стварног сценарија који вам је дат у питању, потребно је да креирате две једначине, а затим да их решите.

Одговор Објашњење:

Да бисте одредили број продатих салата, напишите и решите систем од две једначине. Нека је $к$ једнако броју продатих салата и нека је $и$ једнако броју продатих пића. Пошто је број салата плус број продатих пића једнак 209, мора да важи једначина $к+и=209$. Пошто је свака салата коштала 6,50, свака сода је коштала 2,00, а укупан приход је био 836,50, једначина $6,50к+2,00и=836,50$ такође мора да важи. Једначина $к+и=209$ је еквивалентна $2к+2и=418$, а одузимање сваке стране од $2к+2и=418$ од одговарајуће стране $6,50к+2,00и=836,50$ даје $4,5к=418,50$ $. Дакле, број продатих салата к био је $к={418,50}/{4,50}=93$. Дакле, Б је тачан одговор.

Савет:

Идите на ове проблеме корак по корак. Напишите једначину за укупан број продатих салата и пића, затим одгонетните једначину за приход, а затим решите. Не журите или можете погрешити.

Апсолутна вредност

Обично ће постојати само једно питање о апсолутној вредности у секцији САТ математике. Питање је обично прилично лако и једноставно, али захтева да знате правила апсолутне вредности да бисте на њега тачно одговорили. Све што је апсолутна вредност биће у заградама са знацима апсолутне вредности који изгледају овако: || На пример, $|-4|$ или $|к-1|$

Апсолутна вредност је приказ удаљености дуж бројевне праве, напред или назад.

То значи да шта год је у знаку апсолутне вредности постаће позитивно пошто представља растојање дуж бројевне праве и немогуће је имати негативно растојање. На пример, на горњој бројевној правој, -2 је 2 удаљено од 0. Било шта унутар апсолутне вредности постаје позитивно.

Ово такође значи да ће једначина апсолутне вредности увек имати два решења . На пример, $|к-1|=2$ ће имати два решења $к-1=2$ и $к-1=-2$. Затим решавате сваку засебну једначину да бисте пронашли два решења, $к=3,-1$.

Када радите на проблемима апсолутне вредности, запамтите да морате да креирате два одвојена решења, позитивно и негативно као што смо урадили горе.

Проблем са вежбањем калкулатора

Одговор Објашњење:

Ако је вредност $|н−1|+1$ једнака 0, онда је $|н−1|+1=0$. Одузимање 1 од обе стране ове једначине даје $|н−1|=−1$. Израз $|н−1|$ на левој страни једначине је апсолутна вредност $н−1$, и, као што сам управо поменуо, апсолутна вредност никада не може бити негативан број јер представља растојање. Дакле, $|н−1|=−1$ нема решење. Дакле, не постоје вредности за н за које је вредност $|н−1|+1$ једнака 0. Д је тачан одговор.

Савет:

Запамтите правила апсолутне вредности (увек је позитивно!). Ако се сећате правила, требало би да тачно поставите питање!

Графичке линеарне једначине

Ова питања тестирају вашу способност да прочитате графикон и протумачите га у облику $и=мк+б$. Брзо освежење, $и=мк+б$ је једначина пресека нагиба праве, где м представља нагиб, а б представља пресек и.

У овим питањима обично ће вам бити представљен график праве и мораћете да одредите колики су нагиб и пресек и да бисте написали једначину праве.

Проблем са вежбањем калкулатора

Одговор Објашњење:

Однос између х и Ц је представљен било којом једначином дате праве. Ц-пресек праве је 5. Пошто тачке $(0, 5)$ и $(1, 8)$ леже на правој, нагиб праве је ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Према томе, однос између х и Ц може бити представљен са $Ц=3х+5$, једначином нагиба и пресека праве. Ц је тачан одговор.

Савет:

Запамтите образац пресека нагиба ($и=мк+б$) и једначину нагиба $м={и_2-и_1}/{к_2-к_1}$. Знати шта значи свака променљива у једначинама. Ако знате све ово, требало би да будете у стању да решите било који проблем са линеарном једначином који вам је дат.

Линеарне неједначине и системи линеарних неједначина

Су вероватно најизазовнија питања Срца алгебре јер се многи ученици муче када се варијабле комбинују са неједнакостима. Ако вам је потребно брзо, али детаљно освежење о неједнакостима, погледајте наш водич за неједнакости.

Ова питања обично се појављују на крају вишеструког избора и мреже у сваком одељку. Ова питања ће бити представљена као директне већ постављене неједнакости (од вас се неће тражити да креирате неједнакости нити ће вам бити представљен сценарио из стварног света који користи неједнакости). Иако су представљена на директан начин, ова питања су изазовна и лако је погрешити, па одвојите време!

Проблеми са вежбањем калкулатора

Одговор Објашњење:

Одузимањем $3к$ и додавањем 3 обема странама $3к−5≥4к−3$ добија се $−2≥к$. Према томе, к је решење за $3к−5≥4к−3$ ако и само ако је к мање од или једнако −2 и к НИЈЕ решење за $3к−5≥4к−3$ ако и само ако је к је већи од −2. Од датих избора, само −1 је веће од −2 и стога не може бити вредност к. А је тачан одговор.

Такође можете покушати да одговорите на ово тако што ћете укључити изборе одговора и видети који од њих није успео. Ако укључите А у неједнакост, добићете $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Поједностављивањем неједнакости, добићете -8≥-7, што није тачно, тако да је А тачан одговор.

Савет

Запамтите правила неједнакости! Одвојите време кроз сваки корак како не бисте погрешили. Такође, не заборавите да покушате да укључите изборе одговора да бисте пронашли тачан одговор!

Хајде да погледамо још један пример.

Одговор Објашњење:

Пошто је (0, 0) решење система неједначина, замена 0 за к и 0 за и у датом систему мора да резултира две праве неједначине. Након ове замене, и<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>б. Дакле, а је позитивно, а б негативно. Дакле, а > б. Избор А је тачан.

Савет:

Третирајте овај систем неједначина са четири променљиве исто као што бисте третирали систем неједначина са две променљиве. Запамтите да ако је (0,0) решење то значи да када је к=0, и=0.

4 кључне стратегије за срце алгебре

Промео сам стратегије за напад на ова питања кроз овај чланак у одељцима са „саветима“, али ћу их сада сумирати овде.

Стратегија #1: Запамтите правила и формулу

Морате да знате правила неједнакости, правила апсолутне вредности и формулу за верзију линије са пресеком нагиба ($и=мк+б$) да бисте тачно одговорили на те врсте алгебарских питања. Без правила и формуле, ова питања су прилично немогућа.

Ако вам је потребна додатна помоћ у вези са било којим од концепата, погледајте наше детаљне водиче за линеарне једначине, системе једначина, апсолутну вредност, форму нагиба пресека и линеарне неједнакости и системе неједначина.

Стратегија #2: Прикључивање одговора

На питања са вишеструким избором, требало би увек проверите да ли можете да укључите изборе одговора у дату једначину(е) или неједнакост да бисте пронашли тачан одговор . Понекад ће овај приступ бити много једноставнији од покушаја да се реши једначина.

Чак и ако откријете да вас додавање одговора успорава, требало би да размислите о томе да га користите да бисте проверили свој рад. Укључите избор одговора који пронађете и видите да ли резултира уравнотеженом једначином или исправним неједнакостима. Ако јесте, знате да имате тачан одговор!

Укључите га у! Укључите га у!

Стратегија #3: Прикључивање бројева

Ако укључивање одговора није могуће, додавање бројева је често могућност, као у питању 2 изнад. Када бирате бројеве за укључивање, генерално, не препоручујем да користите -1, 0 или 1 (јер могу да доведу до погрешних одговора) и обавезно прочитајте питање да бисте видели које бројеве треба да изаберете. На пример, у питању 2, бројеви су представљали број послатих текстуалних порука, тако да не би требало да користите негативан број за представљање броја текстуалних порука јер је немогуће послати негативан број текстуалних порука.

За неједнакости ово је посебно важно, често ће питање рећи 'следеће је тачно за све $к>0$.' Ако је то случај, не можете укључити 0 или -5; можете додати само бројеве веће од 0 пошто је то параметар постављен питањем.

Стратегија #4: Радите корак по корак

За питања Срца алгебре, потребно је да одвојите време радећи на сваком кораку. Ова питања могу да обухватају 5, 10, 15 корака и потребно је да одвојите време како бисте били сигурни да не направите малу грешку у кораку 3 која ће резултирати нетачним одговором. Знате своје ствари, зато не дозволите да вас мале грешке коштају бодова!

Шта је следеће?

Сада када знате шта можете да очекујете у вези са питањима Срца алгебре, будите спремни за то све остале математичке теме видећете на САТ. Сви наши водичи из математике ће вас провести кроз стратегије и задатке за вежбање за све теме обрађене у одељку о математици, од целих бројева до односа, кругова до полигона (и још много тога!).

Да ли сте забринути због дана тестирања? Уверите се да знате тачно шта да радите и понесите да се смирите и смирите живце пре него што дође време да полажете САТ.

Понестаје вам времена за САТ математичку секцију? Не тражите даље од нашег водича који ће вам помоћи да победите време и максимизирате свој САТ резултат из математике.

Пецате да бисте добили савршен резултат? Погледајте наше водич за добијање савршених 800 , који је написао савршени стрелац.