TechCodeview

Када добијете квадратну формулу и основе квадратних једначина, време је за следећи ниво вашег односа са параболама: учење о њиховим облик темена .

Читајте даље да бисте сазнали више о облику врха параболе и како да конвертујете квадратну једначину из стандардног облика у облик врха.

кредитна слика: СБА73 /Флицкр

Зашто је Вертек Форм користан? Преглед

Тхе облик темена једначине је алтернативни начин писања једначине параболе.

Обично ћете видети квадратну једначину написану као $ак^2+бк+ц$, која ће, када се прикаже графиконом, бити парабола. Из овог облика, довољно је лако пронаћи корене једначине (где парабола погађа $к$-осу) постављањем једначине на нулу (или коришћењем квадратне формуле).

Међутим, ако треба да пронађете врх параболе, стандардни квадратни облик је много мање од помоћи. Уместо тога, желећете да конвертујете своју квадратну једначину у облик врха.

Шта је Вертек Форма?

Док је стандардни квадратни облик $ак^2+бк+ц=и$, облик врха квадратне једначине је $би и=би а(би к-би х)^2+ би к$.

У оба облика, $и$ је $и$-координата, $к$ је $к$-координата, а $а$ је константа која вам говори да ли је парабола окренута нагоре ($+а$) или надоле ($-а$). (Размишљам о томе као да је парабола чинија соса од јабуке; ако постоји $+а$, могу да додам сос од јабуке у чинију; ако постоји $-а$, могу истрести сос од јабуке из чиније.)

Разлика између стандардне форме параболе и форме темена је у томе што вам врхски облик једначине такође даје врх параболе: $(х,к)$.

На пример, погледајте ову фину параболу, $и=3(к+4/3)^2-2$:

На основу графа, врх параболе изгледа као (-1,5,-2), али је тешко рећи где се тачно налази врх само из графа. На срећу, на основу једначине $и=3(к+4/3)^2-2$, знамо да је врх ове параболе $(-4/3,-2)$.

Зашто је врх $(-4/3,-2)$ а не $(4/3,-2)$ (осим графика, што чини јасним и $к$- и $и$-координате врх је негативан)?

Запамтити: у једначини облика врха, $х$ се одузима и $к$ се додаје . Ако имате негативан $х$ или негативан $к$, мораћете да се побринете да одузмете негативни $х$ и додате негативни $к$.

У овом случају то значи:

$и=3(к+4/3)^2-2=3(к-(-4/3))^2+(-2)$

и тако је врх $(-4/3,-2)$.

Увек треба да проверите своје позитивне и негативне предзнаке када пишете параболу у облику темена , посебно ако врх нема позитивне вредности $к$ и $и$ (или за вас квадрантне главе, ако није у квадрант И ). Ово је слично провери коју бисте урадили да решавате квадратну формулу ($к={-б±√{б^2-4ац}}/{2а}$) и потребна вам је да бисте били сигурни да сте задржали позитивно и негативи директно за ваше $а$с, $б$с и $ц$с.

Испод је табела са даљим примерима неколико других једначина параболе, заједно са њиховим врховима. Посебно обратите пажњу на разлику у $(к-х)^2$ делу једначине облика врха параболе када је $к$ координата врха негативна.

Како конвертовати из стандардне квадратне форме у вертек форму

Већину времена када се од вас тражи да конвертујете квадратне једначине између различитих облика, ићи ћете од стандардног облика ($ак^2+бк+ц$) до облика темена ($а(к-х)^2+к$ ).

Процес претварања ваше једначине из стандардне квадратне у форму врха укључује извођење скупа корака који се називају попуњавање квадрата. (За више информација о попуњавању квадрата, обавезно прочитајте овај чланак.)

Хајде да прођемо кроз пример претварања једначине из стандардног облика у облик темена. Почећемо са једначином $и=7к^2+42к-3/14$.

Прва ствар коју ћете желети да урадите је да померите константу, или термин без $к$ или $к^2$ поред ње. У овом случају, наша константа је $-3/14$. (Знамо да јесте негативан $3/14$ јер је стандардна квадратна једначина $ак^2+бк+ц$, а не $ак^2+бк-ц$.)

Прво ћемо узети тај $-3/14$ и померити га на леву страну једначине:

$и+3/14=7к^2+42к$

Следећи корак је да извучете 7 (вредност $а$ у једначини) са десне стране, овако:

$и+3/14=7(к^2+6к)$

Велики! Ова једначина много више личи на форму врха, $и=а(к-х)^2+к$.

У овом тренутку, можда мислите: 'Све што сада треба да урадим је да померим $3/14$ назад на десну страну једначине, зар не?' Авај, не тако брзо.

Ако погледате део једначине унутар заграда, приметићете проблем: није у облику $(к-х)^2$. Има превише $к$с! Тако да још нисмо сасвим готови.

Оно што сада треба да урадимо је најтежи део — комплетирање квадрата.

Хајде да ближе погледамо део једначине $к^2+6к$. Да бисмо урачунали $(к^2+6к)$ у нешто што личи на $(к-х)^2$, мораћемо да додамо константу у унутрашњост заграда - и мораћемо да запамтимо да ту константу додамо и на другу страну једначине (пошто једначина треба да остане уравнотежена).

Да бисмо ово подесили (и да не заборавимо да додамо константу на другу страну једначине), направићемо празан простор где ће константа ићи на обе стране једначине:

$и+3/14+7($ $)=7(к^2+6к+$ $)$

Имајте на уму да смо на левој страни једначине укључили нашу вредност $а$, 7, испред простора где ће наша константа ићи; то је зато што не само додајемо константу десној страни једначине, већ множимо константу са оним што је изван заграда. (Ако је ваша вредност $а$ 1, не морате да бринете о томе.)

Следећи корак је завршетак квадрата. У овом случају, квадрат који попуњавате је једначина унутар заграда – додавањем константе претварате је у једначину која се може написати као квадрат.

Да бисте израчунали ту нову константу, узмите вредност поред $к$ (6, у овом случају), поделите је са 2 и квадрирајте.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Константа је 9.

Разлог зашто преполовимо 6 и квадрат је тај што знамо да у једначини у облику $(к+п)(к+п)$ (што је оно до чега покушавамо да дођемо), $пк+пк= 6к$, дакле $п=6/2$; да бисмо добили константу $п^2$, стога морамо узети $6/2$ (наш $п$) и квадрирати је.

Сада замените празан простор са обе стране наше једначине са константом 9:

$и+3/14+7(9)=7(к^2+6к+9)$

$и+{3/14}+63=7(к^2+6к+9)$

$и+{3/14}+{882/14}=7(к^2+6к+9)$

$и+{885/14}=7(к^2+6к+9)$

Затим разложите једначину унутар заграда. Пошто смо завршили квадрат, моћи ћете да га разложите као $(к+{неки нумбер})^2$.

$и+{885/14}=7(к+3)^2$

Последњи корак: померите вредност која није $и$ са леве стране једначине назад на десну страну:

$и=7(к+3)^2-{885/14}$

Честитам! Успешно сте конвертовали своју једначину из стандардног квадратног облика у врх.

Сада, већина проблема неће само тражити од вас да конвертујете своје једначине из стандардног облика у облик теме; они ће желети да заправо дате координате темена параболе.

Да не бисмо били преварени променама предзнака, хајде да напишемо општу једначину облика врха директно изнад једначине облика врха коју смо управо израчунали:

$и=а(к-х)^2+к$

$и=7(к+3)^2-{885/14}$

И онда лако можемо пронаћи $х$ и $к$:

$-х=3$

$х=-3$

$+к=-{885/14}$

Тем ове параболе је у координатама $(-3,-{885/14})$.

Вау, то је било много мешања бројева! На срећу, претварање једначина у другом правцу (од темена до стандардног облика) је много једноставније.

Како претворити из вертек форме у стандардни образац

Претварање једначина из њиховог облика врха у регуларни квадратни облик је много једноставнији процес: све што треба да урадите је да помножите форму врха.

Узмимо наш пример једначине од раније, $и=3(к+4/3)^2-2$. Да бисмо ово претворили у стандардни облик, само проширимо десну страну једначине:

$$и=3(к+4/3)^2-2$$

$$и=3(к+4/3)(к+4/3)-2$$

$$и=3(к^2+{8/3}к+16/9)-2$$

$$и=3к^2+8к+{16/3}-2$$

$$и=3к^2+8к+{16/3}-{6/3}$$

$$и=3к^2+8к+10/3$$

Тада! Успешно сте конвертовали $и=3(к+4/3)^2-2$ у његов облик $ак^2+бк+ц$.

Вежбање облика вертекса параболе: примери питања

Да бисмо завршили ово истраживање облика темена, имамо четири примера проблема и објашњења. Проверите да ли можете сами да решите проблеме пре него што прочитате објашњења!

#1: Који је облик врха квадратне једначине $к^2+ 2.6к+1.2$?

#2: Претворите једначину $7и=91к^2-112$ у облик врха. Шта је врх?

#3: С обзиром на једначину $и=2(к-3/2)^2-9$, које су $к$-координате места где се ова једначина сече са $к$-осом?

#4: Пронађите врх параболе $и=({1/9}к-6)(к+4)$.

Вежбање облика вертекса параболе: решења

#1: Који је облик врха квадратне једначине ${би к^2}+ 2.6би к+1.2$?

Почните тако што ћете одвојити променљиву која није $к$ на другу страну једначине:

$и-1.2=к^2+2.6к$

Пошто је наш $а$ (као у $ак^2+бк+ц$) у оригиналној једначини једнако 1, не морамо да га растављамо са десне стране овде (мада ако желите, можете написати $и-1.2=1(к^2+2.6к)$).

Затим поделите коефицијент $к$ (2.6) са 2 и квадрирајте га, а затим додајте добијени број на обе стране једначине:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$и-1.2+1(1.69)=1(к^2+2.6к+1.69)$

Фактори десну страну једначине унутар заграда:

$и-1.2+1.69=(к+1.3)^2$

На крају, комбинујте константе са леве стране једначине, а затим их преместите на десну страну.

$и-1.2+1.69=(к+1.3)^2$

$и+0.49=(к+1.3)^2$

Наш одговор је $и=(к+1.3)^2-0.49$.

#2: Претворите једначину $7би и=91би к^2-112$ у облик врха. Шта је врх?

Када претварате једначину у облик врха, желите да $и$ има коефицијент 1, тако да прва ствар коју ћемо урадити је да поделимо обе стране ове једначине са 7:

$7и= 91к^2-112$

${7и}/7= {91к^2}/7-112/7$

$и=13к^2-16$

Затим пренесите константу на леву страну једначине:

$и+16=13к^2$

Одвојите коефицијент броја $к^2$ ($а$) са десне стране једначине

$и+16=13(к^2)$

Сада, обично бисте морали да попуните квадрат на десној страни једначине унутар заграда. Међутим, $к^2$ је већ квадрат, тако да не морате ништа да радите осим да померате константу са леве стране једначине назад на десну страну:

$и=13(к^2)-16$.

Сада да пронађемо врх:

$и=а(к-х)^2+к$

$и=13(к^2)-16$

$-х=0$, дакле $х=0$

$+к=-16$, дакле $к=-16$

Врх параболе је на $(0, -16)$.

#3: С обзиром на једначину $би и=2(би к-3/2)^2-9$, шта је(су) $би к$-координате где се ова једначина сече са $би к$-оса?

Пошто питање тражи од вас да пронађете $к$-пресецање(е) једначине, први корак је да поставите $и=0$.

$и=0=2(к-3/2)^2-9$.

Сада, постоји неколико начина да се иде одавде. Подмукли начин је да искористимо чињеницу да већ постоји квадрат уписан у једначину облика врха у нашу корист.

Прво ћемо померити константу на леву страну једначине:

$0=2(к-3/2)^2-9$

$9=2(к-3/2)^2$

Затим ћемо поделити обе стране једначине са 2:

$9/2=(к-3/2)^2$

Сада, тајни део. Узми квадратни корен обе стране једначине:

$√(9/2)=√{(к-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(к-3/2)$

$±