С обзиром на сет градова и удаљености између сваког пара градова, проблем је пронаћи најкраће могуће обилазак која посећује сваки град тачно једном и враћа се на почетну тачку.
На пример, размислите о графикону приказан на личности на десној страни. ТСП Тоур у графикону је 0-1-3-2-0. Цена турнеје је 10 + 25 + 30 + 15 што је 80.
Разговарали смо о следећим решењима
1) Наивно и динамичко програмирање
2) Приближно решење помоћу МСТ-а
Грана и везан решење
Као што се види у претходним чланцима у грани и веже методу за тренутног чвора на дрвету, израчунамо везу за најбоље могуће решење које можемо да добијемо да ли ћемо донети овај чвор. Ако је везана за најбоље могуће решење горе од најбољих од тренутно (најбоље израчунато до сада), тада игноришемо подређене корије и укоријењене чвором.
Имајте на уму да трошкови кроз чвор укључује два трошкова.
1) Трошкови достизања чвора из корена (када стигнемо до чвора Имамо овај трошкови израчунати)
2) Трошкови достизања одговора са тренутног чвора до листа (израчунамо везу о овом трошку да одлучимо да ли да игноришем подређене са овим чвором или не).
- У случајевима а Проблем са максимизацијом Горња граница нам говори максимално могуће решење ако следимо дато чвор. На пример у 0/1 Кнапсацк Користили смо похлепни приступ да бисмо пронашли горњу границу .
- У случајевима а Проблем са минимизацијом Доња граница нам говори минимално могуће решење ако следимо дато чвор. На пример у Проблем са задатком за посао Доњи гранич имамо доњи посао додељивањем барем трошкове радњи.
У грани и везани да изазовни део смањује начин да се израчунава веза за најбоље могуће решење. Испод је идеја која се користи за израчунавање граница за путовање продавача.
Трошкови било којег турнеје могу се написати као доле.
Cost of a tour T = (1/2) * ? (Sum of cost of two edges adjacent to u and in the tour T) where u ? V For every vertex u if we consider two edges through it in T and sum their costs. The overall sum for all vertices would be twice of cost of tour T (We have considered every edge twice.) (Sum of two tour edges adjacent to u) >= (sum of minimum weight two edges adjacent to u) Cost of any tour >= 1/2) * ? (Sum of cost of two minimum weight edges adjacent to u) where u ? V
На пример, размислите о горе наведеном графу. Испод је минимално коштати две ивице поред сваког чвора.
Node Least cost edges Total cost 0 (0 1) (0 2) 25 1 (0 1) (1 3) 35 2 (0 2) (2 3) 45 3 (0 3) (1 3) 45 Thus a lower bound on the cost of any tour = 1/2(25 + 35 + 45 + 45) = 75 Refer this for one more example.
Сада имамо идеју о израчунавању доње границе. Да видимо како како да се нанесем Стате Стате Спаце Тражи. Почињемо набројати све могуће чворове (пожељно у лексикографским редоследом)
1. Корен чвор: Без губитка опћенитости претпостављамо да започињемо у Вертек '0' за које је доња граница израчуната горе.
Суочавање са нивоом 2: Следећи ниво набраја све могуће врхове које можемо да идемо (имајући у виду да у било којем путу вертик мора да се појави само једном) који су 1 2 3 ... Н (имајте на уму да је графикон комплетан). Размислите о томе да израчунавамо вертку 1 откад смо се преместили са 0 до 1 наша турнеја сада је укључила ивицу 0-1. То нам омогућава да направимо потребне промене у доњој граници корена.
Lower Bound for vertex 1 = Old lower bound - ((minimum edge cost of 0 + minimum edge cost of 1) / 2) + (edge cost 0-1)
Како то функционише? Да бисте укључили ивицу 0-1, додајемо ивицу од 0-1 и одузмите тежину ивица, тако да је доња граница што је што више остаје што је више могуће што би била збир минималних ивица од 0 и 1 подељених са 2. Јасно да је ивица одузета не може бити мања од овога.
Суочавање са другим нивоима: Док прелазимо на следећи ниво, опет набројамо све могуће врхове. Јер горе наведени случај који иде даље након 1, провјеримо за 2 3 4 ... н.
Размислите о доњој граници за 2 док смо се преселили од 1 до 1, уручујемо ивицу 1-2 на турнеју и измените нову доњу границу за овај чвор.
Lower bound(2) = Old lower bound - ((second minimum edge cost of 1 + minimum edge cost of 2)/2) + edge cost 1-2)
Напомена: Једина промена формуле је да смо овај пут укључили другу минималну ивику трошкова за 1, јер је најмања цена ивице већ одузимала на претходном нивоу.
C++
// C++ program to solve Traveling Salesman Problem // using Branch and Bound. #include
// Java program to solve Traveling Salesman Problem // using Branch and Bound. import java.util.*; class GFG { static int N = 4; // final_path[] stores the final solution ie the // path of the salesman. static int final_path[] = new int[N + 1]; // visited[] keeps track of the already visited nodes // in a particular path static boolean visited[] = new boolean[N]; // Stores the final minimum weight of shortest tour. static int final_res = Integer.MAX_VALUE; // Function to copy temporary solution to // the final solution static void copyToFinal(int curr_path[]) { for (int i = 0; i < N; i++) final_path[i] = curr_path[i]; final_path[N] = curr_path[0]; } // Function to find the minimum edge cost // having an end at the vertex i static int firstMin(int adj[][] int i) { int min = Integer.MAX_VALUE; for (int k = 0; k < N; k++) if (adj[i][k] < min && i != k) min = adj[i][k]; return min; } // function to find the second minimum edge cost // having an end at the vertex i static int secondMin(int adj[][] int i) { int first = Integer.MAX_VALUE second = Integer.MAX_VALUE; for (int j=0; j<N; j++) { if (i == j) continue; if (adj[i][j] <= first) { second = first; first = adj[i][j]; } else if (adj[i][j] <= second && adj[i][j] != first) second = adj[i][j]; } return second; } // function that takes as arguments: // curr_bound -> lower bound of the root node // curr_weight-> stores the weight of the path so far // level-> current level while moving in the search // space tree // curr_path[] -> where the solution is being stored which // would later be copied to final_path[] static void TSPRec(int adj[][] int curr_bound int curr_weight int level int curr_path[]) { // base case is when we have reached level N which // means we have covered all the nodes once if (level == N) { // check if there is an edge from last vertex in // path back to the first vertex if (adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]] != 0) { // curr_res has the total weight of the // solution we got int curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level-1]][curr_path[0]]; // Update final result and final path if // current result is better. if (curr_res < final_res) { copyToFinal(curr_path); final_res = curr_res; } } return; } // for any other level iterate for all vertices to // build the search space tree recursively for (int i = 0; i < N; i++) { // Consider next vertex if it is not same (diagonal // entry in adjacency matrix and not visited // already) if (adj[curr_path[level-1]][i] != 0 && visited[i] == false) { int temp = curr_bound; curr_weight += adj[curr_path[level - 1]][i]; // different computation of curr_bound for // level 2 from the other levels if (level==1) curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i))/2); else curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i))/2); // curr_bound + curr_weight is the actual lower bound // for the node that we have arrived on // If current lower bound < final_res we need to explore // the node further if (curr_bound + curr_weight < final_res) { curr_path[level] = i; visited[i] = true; // call TSPRec for the next level TSPRec(adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path); } // Else we have to prune the node by resetting // all changes to curr_weight and curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level-1]][i]; curr_bound = temp; // Also reset the visited array Arrays.fill(visitedfalse); for (int j = 0; j <= level - 1; j++) visited[curr_path[j]] = true; } } } // This function sets up final_path[] static void TSP(int adj[][]) { int curr_path[] = new int[N + 1]; // Calculate initial lower bound for the root node // using the formula 1/2 * (sum of first min + // second min) for all edges. // Also initialize the curr_path and visited array int curr_bound = 0; Arrays.fill(curr_path -1); Arrays.fill(visited false); // Compute initial bound for (int i = 0; i < N; i++) curr_bound += (firstMin(adj i) + secondMin(adj i)); // Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = (curr_bound==1)? curr_bound/2 + 1 : curr_bound/2; // We start at vertex 1 so the first vertex // in curr_path[] is 0 visited[0] = true; curr_path[0] = 0; // Call to TSPRec for curr_weight equal to // 0 and level 1 TSPRec(adj curr_bound 0 1 curr_path); } // Driver code public static void main(String[] args) { //Adjacency matrix for the given graph int adj[][] = {{0 10 15 20} {10 0 35 25} {15 35 0 30} {20 25 30 0} }; TSP(adj); System.out.printf('Minimum cost : %dn' final_res); System.out.printf('Path Taken : '); for (int i = 0; i <= N; i++) { System.out.printf('%d ' final_path[i]); } } } /* This code contributed by PrinciRaj1992 */
# Python3 program to solve # Traveling Salesman Problem using # Branch and Bound. import math maxsize = float('inf') # Function to copy temporary solution # to the final solution def copyToFinal(curr_path): final_path[:N + 1] = curr_path[:] final_path[N] = curr_path[0] # Function to find the minimum edge cost # having an end at the vertex i def firstMin(adj i): min = maxsize for k in range(N): if adj[i][k] < min and i != k: min = adj[i][k] return min # function to find the second minimum edge # cost having an end at the vertex i def secondMin(adj i): first second = maxsize maxsize for j in range(N): if i == j: continue if adj[i][j] <= first: second = first first = adj[i][j] elif(adj[i][j] <= second and adj[i][j] != first): second = adj[i][j] return second # function that takes as arguments: # curr_bound -> lower bound of the root node # curr_weight-> stores the weight of the path so far # level-> current level while moving # in the search space tree # curr_path[] -> where the solution is being stored # which would later be copied to final_path[] def TSPRec(adj curr_bound curr_weight level curr_path visited): global final_res # base case is when we have reached level N # which means we have covered all the nodes once if level == N: # check if there is an edge from # last vertex in path back to the first vertex if adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]] != 0: # curr_res has the total weight # of the solution we got curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level - 1]] [curr_path[0]] if curr_res < final_res: copyToFinal(curr_path) final_res = curr_res return # for any other level iterate for all vertices # to build the search space tree recursively for i in range(N): # Consider next vertex if it is not same # (diagonal entry in adjacency matrix and # not visited already) if (adj[curr_path[level-1]][i] != 0 and visited[i] == False): temp = curr_bound curr_weight += adj[curr_path[level - 1]][i] # different computation of curr_bound # for level 2 from the other levels if level == 1: curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2) else: curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2) # curr_bound + curr_weight is the actual lower bound # for the node that we have arrived on. # If current lower bound < final_res # we need to explore the node further if curr_bound + curr_weight < final_res: curr_path[level] = i visited[i] = True # call TSPRec for the next level TSPRec(adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path visited) # Else we have to prune the node by resetting # all changes to curr_weight and curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level - 1]][i] curr_bound = temp # Also reset the visited array visited = [False] * len(visited) for j in range(level): if curr_path[j] != -1: visited[curr_path[j]] = True # This function sets up final_path def TSP(adj): # Calculate initial lower bound for the root node # using the formula 1/2 * (sum of first min + # second min) for all edges. Also initialize the # curr_path and visited array curr_bound = 0 curr_path = [-1] * (N + 1) visited = [False] * N # Compute initial bound for i in range(N): curr_bound += (firstMin(adj i) + secondMin(adj i)) # Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = math.ceil(curr_bound / 2) # We start at vertex 1 so the first vertex # in curr_path[] is 0 visited[0] = True curr_path[0] = 0 # Call to TSPRec for curr_weight # equal to 0 and level 1 TSPRec(adj curr_bound 0 1 curr_path visited) # Driver code # Adjacency matrix for the given graph adj = [[0 10 15 20] [10 0 35 25] [15 35 0 30] [20 25 30 0]] N = 4 # final_path[] stores the final solution # i.e. the // path of the salesman. final_path = [None] * (N + 1) # visited[] keeps track of the already # visited nodes in a particular path visited = [False] * N # Stores the final minimum weight # of shortest tour. final_res = maxsize TSP(adj) print('Minimum cost :' final_res) print('Path Taken : ' end = ' ') for i in range(N + 1): print(final_path[i] end = ' ') # This code is contributed by ng24_7
// C# program to solve Traveling Salesman Problem // using Branch and Bound. using System; public class GFG { static int N = 4; // final_path[] stores the final solution ie the // path of the salesman. static int[] final_path = new int[N + 1]; // visited[] keeps track of the already visited nodes // in a particular path static bool[] visited = new bool[N]; // Stores the final minimum weight of shortest tour. static int final_res = Int32.MaxValue; // Function to copy temporary solution to // the final solution static void copyToFinal(int[] curr_path) { for (int i = 0; i < N; i++) final_path[i] = curr_path[i]; final_path[N] = curr_path[0]; } // Function to find the minimum edge cost // having an end at the vertex i static int firstMin(int[ ] adj int i) { int min = Int32.MaxValue; for (int k = 0; k < N; k++) if (adj[i k] < min && i != k) min = adj[i k]; return min; } // function to find the second minimum edge cost // having an end at the vertex i static int secondMin(int[ ] adj int i) { int first = Int32.MaxValue second = Int32.MaxValue; for (int j = 0; j < N; j++) { if (i == j) continue; if (adj[i j] <= first) { second = first; first = adj[i j]; } else if (adj[i j] <= second && adj[i j] != first) second = adj[i j]; } return second; } // function that takes as arguments: // curr_bound -> lower bound of the root node // curr_weight-> stores the weight of the path so far // level-> current level while moving in the search // space tree // curr_path[] -> where the solution is being stored // which // would later be copied to final_path[] static void TSPRec(int[ ] adj int curr_bound int curr_weight int level int[] curr_path) { // base case is when we have reached level N which // means we have covered all the nodes once if (level == N) { // check if there is an edge from last vertex in // path back to the first vertex if (adj[curr_path[level - 1] curr_path[0]] != 0) { // curr_res has the total weight of the // solution we got int curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level - 1] curr_path[0]]; // Update final result and final path if // current result is better. if (curr_res < final_res) { copyToFinal(curr_path); final_res = curr_res; } } return; } // for any other level iterate for all vertices to // build the search space tree recursively for (int i = 0; i < N; i++) { // Consider next vertex if it is not same // (diagonal entry in adjacency matrix and not // visited already) if (adj[curr_path[level - 1] i] != 0 && visited[i] == false) { int temp = curr_bound; curr_weight += adj[curr_path[level - 1] i]; // different computation of curr_bound for // level 2 from the other levels if (level == 1) curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2); else curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level - 1]) + firstMin(adj i)) / 2); // curr_bound + curr_weight is the actual // lower bound for the node that we have // arrived on If current lower bound < // final_res we need to explore the node // further if (curr_bound + curr_weight < final_res) { curr_path[level] = i; visited[i] = true; // call TSPRec for the next level TSPRec(adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path); } // Else we have to prune the node by // resetting all changes to curr_weight and // curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level - 1] i]; curr_bound = temp; // Also reset the visited array Array.Fill(visited false); for (int j = 0; j <= level - 1; j++) visited[curr_path[j]] = true; } } } // This function sets up final_path[] static void TSP(int[ ] adj) { int[] curr_path = new int[N + 1]; // Calculate initial lower bound for the root node // using the formula 1/2 * (sum of first min + // second min) for all edges. // Also initialize the curr_path and visited array int curr_bound = 0; Array.Fill(curr_path -1); Array.Fill(visited false); // Compute initial bound for (int i = 0; i < N; i++) curr_bound += (firstMin(adj i) + secondMin(adj i)); // Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = (curr_bound == 1) ? curr_bound / 2 + 1 : curr_bound / 2; // We start at vertex 1 so the first vertex // in curr_path[] is 0 visited[0] = true; curr_path[0] = 0; // Call to TSPRec for curr_weight equal to // 0 and level 1 TSPRec(adj curr_bound 0 1 curr_path); } // Driver code static public void Main() { // Adjacency matrix for the given graph int[ ] adj = { { 0 10 15 20 } { 10 0 35 25 } { 15 35 0 30 } { 20 25 30 0 } }; TSP(adj); Console.WriteLine('Minimum cost : ' + final_res); Console.Write('Path Taken : '); for (int i = 0; i <= N; i++) { Console.Write(final_path[i] + ' '); } } } // This code is contributed by Rohit Pradhan
const N = 4; // final_path[] stores the final solution ie the // path of the salesman. let final_path = Array (N + 1).fill (-1); // visited[] keeps track of the already visited nodes // in a particular path let visited = Array (N).fill (false); // Stores the final minimum weight of shortest tour. let final_res = Number.MAX_SAFE_INTEGER; // Function to copy temporary solution to // the final solution function copyToFinal (curr_path){ for (let i = 0; i < N; i++){ final_path[i] = curr_path[i]; } final_path[N] = curr_path[0]; } // Function to find the minimum edge cost // having an end at the vertex i function firstMin (adj i){ let min = Number.MAX_SAFE_INTEGER; for (let k = 0; k < N; k++){ if (adj[i][k] < min && i !== k){ min = adj[i][k]; } } return min; } // function to find the second minimum edge cost // having an end at the vertex i function secondMin (adj i){ let first = Number.MAX_SAFE_INTEGER; let second = Number.MAX_SAFE_INTEGER; for (let j = 0; j < N; j++){ if (i == j){ continue; } if (adj[i][j] <= first){ second = first; first = adj[i][j]; } else if (adj[i][j] <= second && adj[i][j] !== first){ second = adj[i][j]; } } return second; } // function that takes as arguments: // curr_bound -> lower bound of the root node // curr_weight-> stores the weight of the path so far // level-> current level while moving in the search // space tree // curr_path[] -> where the solution is being stored which // would later be copied to final_path[] function TSPRec (adj curr_bound curr_weight level curr_path) { // base case is when we have reached level N which // means we have covered all the nodes once if (level == N) { // check if there is an edge from last vertex in // path back to the first vertex if (adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]] !== 0) { // curr_res has the total weight of the // solution we got let curr_res = curr_weight + adj[curr_path[level - 1]][curr_path[0]]; // Update final result and final path if // current result is better. if (curr_res < final_res) { copyToFinal (curr_path); final_res = curr_res; } } return; } // for any other level iterate for all vertices to // build the search space tree recursively for (let i = 0; i < N; i++){ // Consider next vertex if it is not same (diagonal // entry in adjacency matrix and not visited // already) if (adj[curr_path[level - 1]][i] !== 0 && !visited[i]){ let temp = curr_bound; curr_weight += adj[curr_path[level - 1]][i]; // different computation of curr_bound for // level 2 from the other levels if (level == 1){ curr_bound -= (firstMin (adj curr_path[level - 1]) + firstMin (adj i)) / 2; } else { curr_bound -= (secondMin (adj curr_path[level - 1]) + firstMin (adj i)) / 2; } // curr_bound + curr_weight is the actual lower bound // for the node that we have arrived on // If current lower bound < final_res we need to explore // the node further if (curr_bound + curr_weight < final_res){ curr_path[level] = i; visited[i] = true; // call TSPRec for the next level TSPRec (adj curr_bound curr_weight level + 1 curr_path); } // Else we have to prune the node by resetting // all changes to curr_weight and curr_bound curr_weight -= adj[curr_path[level - 1]][i]; curr_bound = temp; // Also reset the visited array visited.fill (false) for (var j = 0; j <= level - 1; j++) visited[curr_path[j]] = true; } } } // This function sets up final_path[] function TSP (adj) { let curr_path = Array (N + 1).fill (-1); // Calculate initial lower bound for the root node // using the formula 1/2 * (sum of first min + // second min) for all edges. // Also initialize the curr_path and visited array let curr_bound = 0; visited.fill (false); // compute initial bound for (let i = 0; i < N; i++){ curr_bound += firstMin (adj i) + secondMin (adj i); } // Rounding off the lower bound to an integer curr_bound = curr_bound == 1 ? (curr_bound / 2) + 1 : (curr_bound / 2); // We start at vertex 1 so the first vertex // in curr_path[] is 0 visited[0] = true; curr_path[0] = 0; // Call to TSPRec for curr_weight equal to // 0 and level 1 TSPRec (adj curr_bound 0 1 curr_path); } //Adjacency matrix for the given graph let adj =[[0 10 15 20] [10 0 35 25] [15 35 0 30] [20 25 30 0]]; TSP (adj); console.log (`Minimum cost:${final_res}`); console.log (`Path Taken:${final_path.join (' ')}`); // This code is contributed by anskalyan3.
Излаз:
Minimum cost : 80 Path Taken : 0 1 3 2 0
Заокруживање се ради у овој линији кода:
if (level==1) curr_bound -= ((firstMin(adj curr_path[level-1]) + firstMin(adj i))/2); else curr_bound -= ((secondMin(adj curr_path[level-1]) + firstMin(adj i))/2);
У филијали и везан алгоритам ТСП-а израчујемо доњу границу укупне трошкове оптималног раствора додавањем минималних ивица трошкова за сваку вертекс, а затим подели са два. Међутим, ова доња граница можда није цели број. Да бисте добили цели број доње веза, можемо да користимо заокруживање.
У горњем коду Цурр_боунд Вариабле држи тренутну доњу везу у укупној цени оптималног раствора. Када посетимо нову вертек на нивоу нивоа, израчунавамо нови доњи везан нев_боунд преношењем минималних трошкова ивица за нову вертекс и два најближа суседа. Затим ажурирамо променљиву ЦурРолд_боунд заокруживањем Нев_Боунд-а на најближи цели број.
Ако је ниво 1, заокружите се до најближег целог броја. То је зато што смо до сада посетили једну вертику и желимо да будемо конзервативни у нашој процени укупних трошкова оптималног решења. Ако је ниво већи од 1, користимо агресивнију стратегију заокруживања која узима у обзир чињеницу да смо већ посетили неке врхове и стога можемо да донесемо тачнију процену укупних трошкова оптималног решења.
Сложеност времена: Најгора сложеност сложености подружнице и веже остаје иста као и група грубе силе, јер у најгорем случају можда никада нећемо добити прилику да обрубимо чвор. Док у пракси веома добро обавља у зависности од различите инстанце ТСП-а. Сложеност такође зависи од избора граничне функције јер они који одлучују колико чворова треба обрезати.
Референце:
хттп: //лцм.цса.иисц.ернет.ин/дса/ноде187.хтмл