Предуслови: БИТ Дати 'н' сегменти линије сваки од њих је хоризонтални или вертикални. Нађите максималан број троуглова (укључујући троуглове са нултом површином) који се могу формирати спајањем тачака пресека сегмената линија. Не преклапају се два хоризонтална сегмента нити два вертикална сегмента. Права је представљена помоћу две тачке (четири цела броја, прва два су координате к и и за прву тачку, а друге две су координате к и и за другу тачку) Примери:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Идеја се заснива на Алгоритам померања линије . Изградња решења у корацима:
- Сачувајте обе тачке свих сегмената линије са одговарајућим догађајем (описаним у наставку) у вектор и сортирајте све тачке у неопадајућем редоследу њихових к координата.
- Хајде сада да замислимо вертикалну линију коју прелазимо преко свих ових тачака и опишемо 3 догађаја на основу које се тренутно налазимо:
- а вертикална линија
- Зовемо регион 'активан' или хоризонталне линије 'активан' који су имали први догађај, али не и други. Имаћемо БИТ (бинарно индексирано стабло) за чување 'и' координата свих активних линија.
- Када линија постане неактивна, уклањамо њено 'и' из БИТ-а.
- Када се догоди догађај трећег типа, односно када се налазимо на вертикалној линији, постављамо упит за дрво у опсегу његових 'и' координата и додајемо резултат досадашњем броју пресечних тачака.
- Коначно ћемо имати број тачака раскрснице м тада ће број троуглова (укључујући нулту површину) бити мЦ3 .
ин - крајња лева тачка хоризонталног сегментаоут - крајња десна тачка хоризонталног сегментаНапомена: Морамо пажљиво сортирати тачке погледа на цмп() функција у имплементацији ради појашњења.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Излаз:
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Помоћни простор: О(маки) где је маки = 1000005