Чувени математичар ДеМорган измислио две најважније теореме Булове алгебре. ДеМорганове теореме се користе за математичку верификацију еквиваленције НОР и негативних И капија и негативних ИЛИ и НАНД капија. Ове теореме играју важну улогу у решавању различитих израза Булове алгебре. У табели испод је дефинисана логичка операција за сваку комбинацију улазне променљиве.
| Улазне варијабле | Оутпут Цондитион | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| А | Б | И | НАНД | ИЛИ | НОР |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Правила Де-Морганове теореме су произведена из Булових израза за ИЛИ , И и НЕ користећи две улазне променљиве к и и. Прва Деморганова теорема каже да ако извршимо операцију И за две улазне променљиве, а затим извршимо НОТ операцију резултата, резултат ће бити исти као операција ИЛИ комплемента те променљиве. Друга ДеМорганова теорема каже да ако извршимо операцију ИЛИ две улазне променљиве, а затим извршимо НЕ операције резултата, резултат ће бити исти као операција И комплемента те променљиве.
Де-Морганова прва теорема
Према првој теореми, резултат комплемента операције И једнак је операцији ИЛИ комплемента те променљиве. Дакле, она је еквивалентна функцији НАНД и представља функцију негативног ИЛИ која доказује да је (А.Б)' = А'+Б' и то можемо показати користећи следећу табелу.
| Инпутс | Излаз за сваки појам | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| А | Б | А.Б | (АБ)' | А' | Б' | А'А+Б' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Де-Морганова друга теорема
Према другој теореми, резултат комплемента операције ИЛИ је једнак операцији И комплемента те променљиве. Дакле, то је еквивалент НОР функцији и негативна И функција која доказује да је (А+Б)' = А'.Б' и то можемо показати користећи следећу табелу истинитости.
| Инпутс | Излаз за сваки појам | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| А | Б | А+Б | (А+Б)' | А' | Б' | А'.Б' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Узмимо неколико примера у којима узимамо неке изразе и примењујемо ДеМорганове теореме.
Пример 1: (АБЦ)'
(А.Б.Ц)'=А'+Б'+Ц'
Пример 2: (А+Б+Ц)'
(А+Б+Ц)'=А'.Б'.Ц
Пример 3: ((А+БЦ')'+Д(Е+Ф')')'
Да бисмо применили ДеМорганову теорему на овај израз, морамо следити следеће изразе:
1) У потпуном изразу, прво, налазимо оне термине на које можемо применити ДеМорганову теорему и третирати сваки појам као једну променљиву.
Тако,
2) Затим примењујемо ДеМорганову прву теорему. Тако,
3) Затим користимо правило број 9, тј. (А=(А')') за поништавање дуплих шипки.
4) Затим примењујемо другу ДеМорганову теорему. Тако,
5) Поново примените правило број 9 да поништите дуплу траку
Сада, овај израз нема термин у који бисмо могли применити било које правило или теорему. Дакле, ово је коначни израз.
Пример 3: (АБ'.(А + Ц))'+ А'Б.(А + Б + Ц')'
приоритетни ред ц++
