Ако проучавате триг или рачун - или се спремате - мораћете да се упознате са јединичним кругом. Јединични круг је основни алат који се користи за решавање синуса, косинуса и тангента угла. Али како то функционише? И које информације треба да знате да бисте их користили?
У овом чланку објашњавамо шта је јединични круг и зашто бисте га требали знати. Такође вам дајемо три савета који ће вам помоћи да запамтите како да користите јединични круг.
Карактеристична слика: Густавб /Викимедија
Јединични круг: Основни увод
Јединични круг је круг полупречника 1. То значи да ће за било коју праву линију повучену од централне тачке круга до било које тачке дуж ивице круга, дужина те праве увек једнака 1. (То такође значи да ће пречник круга бити једнак 2, пошто пречник је једнак двострукој дужини полупречника.)
обично, средишња тачка јединичног круга је место где се к-оса и и-оса секу, или на координатама (0, 0):
Јединични круг, или триг круг како је такође познат, корисно је знати јер омогућава нам да лако израчунамо косинус, синус и тангенс било ког угла између 0° и 360° (или 0 и 2π радијана).
Као што можете видети на горњем дијаграму, цртањем полупречника под било којим углом (означеним са ∝ на слици), креираћете правоугаони троугао. На овом троуглу косинус је хоризонтална линија, а синус је вертикална линија. Другим речима, косинус =к-координата, и синус = и-координата. (Најдужа линија троугла, или хипотенуза, је полупречник и стога је једнака 1.)
Зашто је све ово важно? Запамтите да можете да решите дужине страница троугла користећи Питагорина теорема, или $а^2+б^2=ц^2$ (у којима а и б су дужине страница троугла, и ц је дужина хипотенузе).
Знамо да је косинус угла једнак дужини хоризонталне праве, синус једнак дужини вертикалне, а хипотенуза једнака 1. Према томе, можемо рећи да је формула за било који правоугли троугао у јединичном кругу је следећа:
$$цос^2θ+син^2θ=1^2$$
Пошто је ^2=1$, ову једначину можемо поједноставити овако:
$$цос^2θ+син^2θ=1$$
Бити свестан да ове вредности могу бити негативне у зависности од формираног угла и квадранта у који падају к- и и-координате (касније ћу то објаснити детаљније).
Ево прегледа свих главних углова у степенима и радијанима на јединичном кругу:
Јединични круг — степени
Јединични круг — радијани
Али шта ако није формиран троугао? Хајде да погледамо шта се дешава када је угао 0°, стварајући хоризонталну праву линију дуж к-осе:
На овој правој, к-координата је једнака 1, а и-координата је једнака 0. Знамо да косинус је једнак к-координати, а синус је једнак и-координати, па можемо написати ово:
- $цос0°=1$
- $син0°=0$
Шта ако угао је 90° и чини савршено вертикалну линију дуж и-осе?
Овде можемо видети да је к-координата једнака 0, а и-координата једнака 1. Ово нам даје следеће вредности за синус и косинус:
- $цос90°=0$
- $син90°=1$
Овај слоган дефинитивно важи ако нисте љубитељ математике.
Зашто бисте требали знати круг јединица
Као што је горе наведено, јединични круг је од помоћи јер омогућава нам да лако решимо синус, косинус или тангенс било ког степена или радијана. Посебно је корисно знати кружни дијаграм јединица ако треба да решите одређене триг вредности за домаћи задатак из математике или ако се спремате да проучавате рачун.
Али како вам тачно познавање јединичног круга може помоћи? Рецимо да вам је дат следећи проблем на тесту из математике - и јесте не дозвољено је користити калкулатор за решавање:
$$син30°$$
одакле почети? Хајде да поново погледамо дијаграм јединичних кругова - овог пута са свим главним угловима (у степенима и радијанима) и њиховим одговарајућим координатама:
стројопис сваки
Јим.белк /Викимедија
Немојте бити преоптерећени! Запамтите, све што решавате је $син30°$. Гледајући овај графикон, то можемо видети и-координата је једнака /2$ на 30°. А пошто је и-координата једнака синусу, наш одговор је следећи:
$$син30°=1/2$$
Али шта ако добијете проблем који користи радијане уместо степени? Процес за његово решавање је и даље исти. Рецимо, на пример, добијате проблем који изгледа овако:
$$цос{{3π}/4}$$
Опет, користећи горњи графикон, можемо видети да је к-координата (или косинус) за ${3π}/4$ (што је једнако 135°) $-{√2}/2$. Ево како би тада изгледао наш одговор на овај проблем:
$$цос({3π}/4)=-{√2}/2$$
Све је ово прилично лако ако имате горњу табелу са јединичним кругом за референцу. Али већину времена (ако не и све) то неће бити случај и од вас се очекује да одговорите на ове врсте математичких питања користећи само свој мозак.
Па како се можете сетити јединичног круга? Читајте даље за наше врхунске савете!
Како запамтити јединични круг: 3 основна савета
У овом одељку дајемо вам наше најбоље савете за памћење триг круга тако да га можете лако користити за било који математички проблем који то захтева.
Не бих препоручио да вежбате јединични круг са лепицама, али, хеј, то је почетак.
#1: Запамтите уобичајене углове и координате
Да бисте ефикасно користили јединични круг, мораћете запамтите најчешће углове (у степенима и радијанима) као и њихове одговарајуће к- и и-координате.
Горњи дијаграм је користан јединични кружни дијаграм који треба погледати, јер укључује све главне углове у степенима и радијанима, поред њихових одговарајућих координатних тачака дуж к- и и-осе.
Ево графикона који наводи ове исте информације у облику табеле:
| Угао (степени) | Угао (радијани) | Координате тачке на кругу |
| 0° / 360° | 0 / 2п | (1, 0) |
| 30° | $п/ | $({√3}/2, 1/2)$ |
| 45° | $п/4$ | $({√2}/2, {√2}/2)$ |
| 60° | $п/3$ | $(1/2, {√3}/2)$ |
| 90° | $π/2$ | (0, 1) |
| 120° | ${2π}/3$ | $(-1/2, {√3}/2)$ |
| 135° | ${3π}/4$ | $(-{√2}/2, {√2}/2)$ |
| 150° | ${5π}/6$ | $(-{√3}/2, 1/2)$ |
| 180° | Пи | (-1, 0) |
| 210° | /6$ | $(-{√3}/2, -1/2)$ |
| 225° | ${5π}/4$ | $(-{√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 240° | ${4π}/3$ | $(-1/2, -{√3}/2)$ |
| 270° | ${3π}/2$ | (0, -1) |
| 300° | ${5π}/3$ | $(1/2, -{√3}/2)$ |
| 315° | ${7π}/4$ | $({√2}/2, -{√2}/2)$ |
| 330° | ${11π}/6$ | $({√3}/2, -1/2)$ |
Сада, док сте више него добродошли да покушате да запамтите све ове координате и углове, ово јесте много ствари за памћење.
Срећом, постоји трик који вам може помоћи да запамтите најважније делове круга јединице.
Погледајте горе наведене координате и приметићете јасан образац: све тачке (осим оних на 0°, 90°, 270° и 360°) наизменично између само три вредности (било позитивне или негативне):
- /2$
- ${√2}/2$
- ${√3}/2$
Свака вредност одговара кратка, средња или дуга линија за косинус и синус:
Ево шта значе ове дужине:
- 30° / $п /
- 45° / $п/4$
- 60° / $п/3$
- $син45°$
- $цос240°$
- $цос{5π}/3$
- $тан{2π}/3$
- ${√2}/2$
- -1/2$
- /2$
- $-√3$
- Угао од 45° ствара вертикална линија средње дужине (За њихово)
- Угао од 240° ствара кратка хоризонтална линија (за косинус)
На пример, ако покушавате да решите $цос{π/3}$, требало би одмах да знате да овај угао (који је једнак 60°) означава кратка хоризонтална линија на јединичном кругу. дакле, његова одговарајућа к-координата мора бити једнака /2$ (позитивна вредност, пошто $π/3$ ствара тачку у првом квадранту координатног система).
На крају, иако је корисно запамтити све углове у горњој табели, имајте на уму то далеко најважнији углови које треба запамтити су следећи:
Третирајте своје негативне и позитивне стране као и каблове који вас потенцијално могу убити ако су погрешно прикључени.
главни метод јава
#2: Научите шта је негативно, а шта позитивно
Од кључне је важности да будете у стању да разликујете позитивне и негативне к- и и-координате тако да пронађете тачну вредност за проблем са тригом. Као подсјетник, Ин да ли ће координата на јединичном кругу бити позитивна или негативна зависи од тога у који квадрант (И, ИИ, ИИИ или ИВ) тачка спада:
Ево графикона који показује да ли ће координата бити позитивна или негативна на основу квадранта у којем се налази одређени угао (у степенима или радијанима):
| Квадрант | Кс-координата (косинус) | И-координата (синус) |
| И | + | + |
| ИИ | − | + |
| ИИИ | − | − |
| ИВ | + | − |
На пример, рецимо да сте добили следећи проблем на тесту из математике:
$$цос210°$$
Пре него што покушате да га решите, требало би да будете у стању да препознате да ће одговор бити негативан број пошто угао од 210° пада у квадрант ИИИ (где су к-координате увек негативан).
Сада, користећи трик који смо научили у савету 1, можете схватити да угао од 210° ствара дуга хоризонтална линија. Дакле, наш одговор је следећи:
$$цос210°=-{√3}/2$$
#3: Знајте како да решите за тангенту
На крају, од суштинског је значаја да знате како да користите све ове информације о триг кругу и синусима и косинусима да бисте могли решити за тангенту угла.
У триг, да бисте пронашли тангенту угла θ (у степенима или радијанима), једноставно поделити синус са косинусом:
$$танθ={синθ}/{цосθ}$$
На пример, реците да покушавате да одговорите на овај проблем:
$$тан300°$$
Први корак је постављање једначине у смислу синуса и косинуса:
$$тан300°={син300°}/{цос300°}$$
Сада, да бисмо решили тангенту, морамо да пронађемо синус и косинус од 300°. Требало би да будете у могућности да брзо препознате да угао од 300° пада у четврти квадрант, што значи да косинус, или к-координата, ће бити позитиван, а синус, или и-координата, ће бити негативан.
То би такође требало одмах да знате ствара угао од 300° кратка хоризонтална линија и дуга вертикална линија. Према томе, косинус (хоризонтална линија) ће бити једнак /2$, а синус (вертикална линија) ће бити једнак $-{√3}/2$ (негативна и-вредност, пошто је ова тачка у квадранту ИВ) .
Сада, да бисте пронашли тангенту, све што треба да урадите је да укључите и решите:
$$тан300°={-{√3}/2}/{1/2}$$
$$тан300°=-√3$$
Време је да предете своје математичке вештине!
Комплет питања за вежбање у кругу
Сада када знате како изгледа јединични круг и како га користите, хајде да тестирамо шта сте научили са неколико задатака за вежбање.
Питања
Одговори
Одговори Објашњења
#1: $син45°$
Са овим проблемом, постоје две информације које бисте требали одмах да идентификујете:
Пошто 45° означава позитивну линију средње дужине, тачан одговор је ${√2}/2$.
Ако нисте сигурни како да ово схватите, нацртајте дијаграм који ће вам помоћи да одредите да ли ће дужина линије бити кратка, средња или дуга.
#2: $цос240°$
Као проблем бр. 1 изнад, постоје две информације које бисте требали брзо да схватите са овим проблемом:
Пошто 240° означава негативну, кратку линију, тачан одговор је -1/2$.
#3: $цос{5π}/3$
За разлику од горњих проблема, овај проблем користи радијани уместо степена. Иако ово може учинити да проблем изгледа теже за решавање, у стварности користи исте основне кораке као и друга два проблема.
Прво, треба да схватите да је угао ${5π}/3$ у квадранту ИВ, тако да ће к-координата, или косинус, бити позитиван број. То би такође требало да знате${5π}/3$ствара кратка хоризонтална линија.
Ово вам даје довољно информација да то утврдите тхе одговор је /2$.
#4: $тан{2π}/3$
Овај проблем се бави тангентом уместо синусом или косинусом, што значи да ће на нашем крају бити потребно мало више математике. Прво, подсетите се основна формула за проналажење тангенте:
$$тан θ={син θ}/{цос θ}$$
Сада, узмимо степен који нам је дат—${2π}/3$— и убаците у ову једначину:
$$тан {2π}/3={син {2π}/3}/{цос {2π}/3}$$
Сада би требало да будете у могућности да одвојено решавате синус и косинус користећи оно што сте запамтили о јединичном кругу. Пошто је угао ${2π}/3$ у квадранту ИИ, к-координата (или косинус) ће бити негативна, а и-координата (или синус) ће бити позитивна.
Затим, требало би да будете у могућности да одредите само на основу угла да је хоризонтална линија кратка линија, а вертикална линија је дугачак ред. То значи да је косинус једнак $-1/2$, а синус једнак ${√3}/2$.
Сада када смо схватили ове вредности, све што треба да урадимо је да их укључимо у нашу почетну једначину и решимо тангенту:
$$тан {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$
$$тан {2π}/3=-√3$$
стринг функције јава
Шта је следеће?
Ако ускоро полажете САТ или АЦТ, мораћете да знате неки триг да бисте могли добро да се снађете у одељку из математике. Погледајте наше стручне водиче за активирање САТ и АЦТ како бисте научили тачно шта треба да знате за дан тестирања!
Поред памћења јединичног круга, добра је идеја да научите како да укључите бројеве и како да додате одговоре. Прочитајте наше водиче да бисте сазнали све о ове две корисне стратегије, које можете користити на било ком тесту из математике — укључујући САТ и АЦТ!