У овом чланку ћемо разговарати о симетричној разлици између два скупа. Овде ћемо такође разговарати о својствима симетричне разлике између два скупа.
Надам се да ће вам овај чланак бити од помоћи како бисте разумели симетричну разлику између два скупа.
Шта је симетрична разлика?
Друга варијанта разлике је симетрична разлика. Претпоставимо да постоје два скупа, А и Б. Симетрична разлика између оба скупа А и Б је скуп који садржи елементе који су присутни у оба скупа осим заједничких елемената.
Симетрична разлика између два скупа се назива и као дисјунктивна унија . Симетрична разлика између два скупа је скуп елемената који се налазе у оба скупа, али нису у њиховом пресеку. Симетричну разлику између два скупа А и Б представља А Д Б или А ? Б .
Можемо то разумети на примерима.
Пример1 Претпоставимо да постоје два скупа са неким елементима.
Скуп А = {1, 2, 3, 4, 5}
Скуп Б = {3, 5}
Дакле, симетрична разлика између датих скупова А и Б је {1, 2, 4}
Или, можемо то рећи А Δ Б = {1, 2, 4} .
Пример2 Претпоставимо да постоје два скупа са неким елементима.
Скуп А = {а, б, ц, к, м, н}
Скуп Б = {ц, н}
Дакле, симетрична разлика између датих скупова А и Б је {а, б, к, м}
Или, можемо то рећи А Δ Б = {а, б, к, м} .
На доњем Веновом дијаграму можете видети симетричну разлику између ова два скупа.
Део засенчен бојом коже у горњем Веновом дијаграму је симетрична разлика између датих скупова, тј. А Д Б .
Хајде да видимо нека својства симетричне разлике између два скупа.
Својства
Постоје нека својства симетричне разлике која су наведена на следећи начин;
- Симетрична разлика се може представити као унија оба релативна комплемента, тј.
А Δ Б = (А / Б) ∪ (Б / А) - Симетрична разлика између два скупа се такође може изразити као унија два скупа минус пресек између њих -
А Δ Б = (А ∪ Б) - (А ∩ Б) - Симетрична разлика је комутативна као и асоцијативна -
А Δ Б = Б Δ А
(А Δ Б) Δ Ц = А Δ (Б Δ Ц) - Празан скуп је неутралан (у математици се за неутрални елемент каже да је посебан тип елемента који, када се комбинује са било којим елементом у скупу да изврши бинарну операцију, оставља елемент непромењен. Такође је познат као Елемент идентитета ).
А Δ ∅ = А
А Δ А = ∅ - Ако је скуп А једнак скупу Б, онда је симетрична разлика између оба скупа -
А Δ Б = ∅ {када је А = Б}
'Симетрична разлика између два сета' в/с 'Разлика између два сета'
Разлика између два сета
Разлика између два скупа А и Б је скуп свих оних елемената који припадају А али не припадају Б и означава се са А - Б .
Пример: Нека је А = {1, 2, 3, 4}
и Б = {3, 4, 5, 6}
онда А - Б = {3, 4} и Б - А = {5, 6}
Симетрична разлика између два скупа
Симетрична разлика између два скупа, А и Б, је скуп који садржи све елементе који су у А или Б, али не у оба. Представљају га А Д Б или А ? Б .
Пример: Нека је А = {1, 2, 3, 4}
и Б = {3, 4, 5, 6}
онда је А Δ Б = {1, 2, 5, 6}
Сада, да видимо неке примере да бисмо јасније разумели симетричну разлику између два скупа.
Питање 1 - Претпоставимо да имате скупове А = {10, 15, 17, 19, 20} и Б = {15, 16, 18}. Сазнајте разлику између оба скупа А и Б и такође сазнајте симетричну разлику између њих.
Решење - Дато,
добити тренутни датум у Јави
А = {10, 15, 17, 19, 20}
и Б = {15, 16, 18}
Разлика између оба сета је -
А - Б = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Симетрична разлика између оба скупа је -
А Δ Б = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Питање 2 - Претпоставимо да имате скупове А = {2, 4, 6, 8} и Б = {2, 5, 7, 8}. Пронађите симетричну разлику Б Δ А. Такође, нацртајте Венов дијаграм који представља симетричну разлику између оба дата скупа.
Решење - Дато, А = {2, 4, 6, 8} и Б = {2, 5, 7, 8}
Знамо да је Б Δ А = (Б ∪ А) - (Б ∩ А)
Покушајмо да решимо питање корак по корак. Дакле, први корак је пронаћи унију скупа А и скупа Б.
Према томе, (Б ∪ А) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Након тога морамо израчунати пресек између оба скупа.
(Б ∩ А) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Сада морамо да пронађемо разлику између уније и пресека скупова А и Б, као што је наведено у формули,
Дакле, (Б ∪ А) - (Б ∩ А) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Према томе, Б Δ А = {4, 5, 6, 7}
Што ће бити једнако А Δ Б, као што је горе наведено, 'Симетрична разлика је комутативна'. Сада ћемо приказати симетричну разлику између оба скупа преко Веновог дијаграма.
У Веновом дијаграму, прво ћемо нацртати два круга који представљају скупове А и Б. Као што је претходно израчунато, пресек између оба скупа је {2, 8}, па смо ове елементе навели у области пресека. Затим наводимо преостале елементе у њиховим одговарајућим круговима скупа, тј. {4, 6} у скупу А и {5, 7} у скупу Б. Након распоређивања елемената, Венов дијаграм ће бити -
Када погледамо горњи Венов дијаграм, постоји Универзални скуп У. Оба скупа А и Б су подскуп универзалног скупа У. Елементи {2, 8} су елементи који се укрштају, тако да су представљени у области која се пресеца. Регион са светло наранџастом бојом је унија скупова осим региона који се пресеца. Овај регион је симетрична разлика између оба скупа А и Б, и биће представљен као -
Б ∩ А = (Б ∪ А) - (Б ∩ А) = {4, 5, 6, 7}
Питање 3 - Претпоставимо да имате скупове А = {5, 6, 8, 9, 10} и Б = {2, 4, 7, 10, 19}.
Доказати да је симетрична разлика комутативна користећи дате скупове.
Решење - Дато, А = {5, 6, 8, 9, 10} и Б = {2, 7, 8, 9, 10}
Доказати: А Δ Б = Б Δ А
Узми ЛХС,
А Δ Б = (А ∪ Б) - (А ∩ Б)
(А ∪ Б) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(А ∩ Б) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Дакле, А Δ Б = {2, 5, 6, 7}
Сада, узми РХС
Б Δ А = (Б ∪ А) - (Б ∩ А)
(Б ∪ А) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(Б ∩ А) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Дакле, Б Δ А = {2, 5, 6, 7}
Дакле, А Δ Б = Б Δ А
Дакле, симетрична разлика је комутативна.