logo

Планарни графикон:

За граф се каже да је раван ако се може нацртати у равни тако да се ниједна ивица не укршта.

Пример: Графикон приказан на сл. је планарни граф.

дужина јава стринга
Планарни и непланарни графови
Планарни и непланарни графови

Регион графикона: Размотрите раван граф Г=(В,Е). Регион је дефинисан као област равни која је ограничена ивицама и не може се даље делити. Планарни граф дели планове на један или више региона. Један од ових региона ће бити бесконачан.

Коначна регија: Ако је површина региона коначна, онда се та област назива коначна област.

Бесконачни регион: Ако је површина региона бесконачна, та област се назива бесконачна област. Планарни граф има само једну бесконачну област.

Пример: Размотрите график приказан на слици. Одредите број региона, коначних региона и бесконачног региона.

Планарни и непланарни графови

Решење: На горњем графикону је пет региона, тј12345.

На графу постоје четири коначна региона, тј. р2345.

Постоји само једно коначно подручје, тј. р1

Својства планарних графова:

  1. Ако повезани планарни граф Г има е ивица и р области, онда је р ≦ Планарни и непланарни графовиТо је.
  2. Ако повезани планарни граф Г има е ивица, в врхова и р области, онда је в-е+р=2.
  3. Ако повезани раван граф Г има е ивица и в темена, онда је 3в-е≧6.
  4. Комплетан граф Кнје раван ако и само ако је н<5.< li>
  5. Потпуни бипартитни граф Кмнје раван ако и само ако је м3.

Пример: Доказати да је комплетан граф К4је раван.

Решење: Комплетан граф К4садржи 4 темена и 6 ивица.

Знамо да је за повезани раван граф 3в-е≧6. Отуда за К4, имамо 3к4-6=6 које задовољава својство (3).

образац дизајна градитеља

Тако је К4је планарни граф. Отуда Провед.

Непланарни графикон:

За граф се каже да није раван ако се не може нацртати у равни тако да се ниједна ивица не укршта.

Пример: Графикони приказани на сл. су непланарни графови.

Планарни и непланарни графови

Ови графови се не могу нацртати у равни тако да се не укрштају ивице, па су непланарни графови.

Својства непланарних графова:

Граф је непланаран ако и само ако садржи подграф који је хомеоморфан К5или К3.3

хритхик росхан аге

Пример 1: Покажите да је К5је непланарна.

Решење: Комплетан граф К5садржи 5 врхова и 10 ивица.

Сада, за повезани планарни граф 3в-е≧6.

Дакле, за К5, имамо 3 к 5-10=5 (што не задовољава својство 3 јер мора бити веће или једнако 6).

Дакле, К5је непланарни граф.

Пример 2: Покажите да су графови приказани на сл. непланарни тако што ћете пронаћи подграф који је хомеоморфан К5или К3.3.

Планарни и непланарни графови
Планарни и непланарни графови

Решење: Ако уклонимо ивице (В1,ИН4),(ИН3,ИН4) и (В5,ИН4) график Г1,постаје хомеоморфна К5.Онда је непланарна.

Ако уклонимо ивицу В2,В7) график Г2постаје хомеоморфна К3.3.Онда је непланарна.

Бојење графикона:

Претпоставимо да је Г= (В,Е) граф без више ивица. Бојење темена Г је додељивање боја врховима Г тако да суседни врхови имају различите боје. Граф Г је М-бојан ако постоји боја за Г која користи М-Боје.

Правилно бојење: Бојење је исправно ако било која два суседна темена у и в имају различите боје, иначе се назива неправилним бојењем.

Пример: Размотрите следећи графикон и боју Ц={р, в, б, и}. Обојите график правилно користећи све боје или мање боја.

како проверити величину екрана монитора
Планарни и непланарни графови

Графикон приказан на сл. има најмање 3 боје, дакле к(Г)=3

Решење: Слика приказује график правилно обојен са све четири боје.

Планарни и непланарни графови

Слика приказује график правилно обојен са три боје.

Хроматски број Г: Минимални број боја потребних да се добије правилно обојење графа Г назива се хроматски број Г и означава се са к(Г).

Пример: Хроматски број Кнје н.

Решење: Боја Кнможе се конструисати коришћењем н боја додељивањем различитих боја сваком темену. Ниједна два темена не могу бити додељена истим бојама, пошто су свака два темена овог графа суседна. Отуда и хроматски број Кн=н.

Примене бојења графова

Неке примене бојења графикона укључују:

  • Додела регистра
  • Мап Цолоринг
  • Бипартитна провера графа
  • Додела фреквенције за мобилне радио
  • Израда распореда итд.

Навести и доказати теорему руковања.

Теорема руковања: Збир степени свих врхова у графу Г једнак је двоструком броју ивица у графу.

Математички се може навести као:

в∈Вдег(в)=2е

Доказ: Нека је Г = (В, Е) граф где је В = {в1,ин2, . . . . . . . . . .} је скуп темена и Е = {е1,То је2. . . . . . . . . .} је скуп ивица. Знамо да свака ивица лежи између два темена тако да сваком врху даје степен један. Стога свака ивица доприноси степену два за граф. Дакле, збир степени свих врхова је једнак двоструком броју ивица у Г.

Дакле, ∑в∈Вдег(в)=2е

јава матх пов